Függelék


A függelékben a generátorfüggvény (melyet néha z-transzformáltnak is nevezünk) és a Laplace-transzformált néhány olyan tulajdonságát és rájuk vonatkozó azonosságokat tekintünk át, melyeket a jegyzetbeli levezetések folyamán -- és általában a sorbanállási elméletben -- használni lehet. Ezen két transzformált alakja és tulajdonságai igen hasonlóak. Mindössze alapvető definíciókra és formulákra szorítkozunk, és talán hasznos is lesz, hogy a felhasznált nem teljesen alapszintű apparátusról külön is ejtünk néhány szót. Ajánlott irodalom pl. Karlin-Taylor (1985), Medhi (1982), Osaki (1992), Rényi (1954, 1966).


A generátorfüggvény


Elsőként foglalkozzunk a generátorfüggvénnyel. Tekintsünk egy $f_n$ diszkrét idejű függvényt, amely csak a nemnegatív egész számokra vesz fel nem nulla értéket. Ezt a végtelen sorozatot szeretnénk jellemezni egyetlen olyan függvénnyel, hogy abból vissza tudjuk kapni az eredeti sorozatot, ha szükségünk van rá.

1. Definíció: Legyen $f_n=0$, ha $n<0$, $n\in \bf Z$. Az $f_n$ sorozat z-transzformáltja vagy generátorfüggvénye

\begin{displaymath}G\left(z\right):=\sum_{n=0}^\infty{f_nz^n}, \ \ \ \ z\in \bf C.\end{displaymath}

Egy sorozatnak létezik generátorfüggvénye, ha a sorozat tagjai nem nőnek exponenciálisnál gyorsabban, azaz ha létezik $a>0$, hogy ${\lim\limits_{n\to\infty}{\vert f_n\vert\over a^n}=0}$. Egy adott $f_n$ sorozat $G\left(z\right)$ generátorfüggvénye egyértelmű. Jelölés: $f_n\Longleftrightarrow G\left(z\right)$ Valószínűségszámítási problémáknál gyakran kell használnunk a $\{P_k\}_0^\infty$ eloszlás $G(z)$ generátorfüggvényét, vagyis ebben az esetben $f_n=P_n$. Ekkor nyilvánvalóan $G(z)$ analitikus a $\vert z\vert\le 1$ értékekre.


A Laplace-transzformált


A hasonló tulajdonságok miatt ezen szakasz gondolatmenete hasonlít az előzőéhez. Most azonban folytonos idejű $f\left(t\right)$ függvényeket tekintünk, melyek a folytonos $t$ paraméter nemnegatív értékére vesznek csak fel nullától különböző értékeket. ( $f\left(t\right)=0$ ha $t<0$.) Szeretnénk ezt a függvényt úgy transzformálni, hogy a transzformált egy új komplex változó, mondjuk $s$ függvénye legyen, ne pedig $t$ függvénye. Most az $e^{-st}$-vel szorozzuk meg a függvényt.

2. Definíció: Legyen $f\left(t\right), t\in\bf R$ függvény. Ekkor az $f\left(t\right)$ függvény Laplace-transzformáltja

\begin{displaymath} F^*\left(s\right):=\int\limits_0^\infty f\left(t\right)e^{-st}dt, \ \ \ \ \ s\in\bf C. \end{displaymath}

Adott $f\left(t\right)$ függvény $F^*\left(s\right)$ Laplace-transzformáltja egyértelmű. Jelölés: $f\left(t\right)\Longleftrightarrow F^*\left(s\right)$. Ha $f\left(t\right)$ integrálja véges, akkor $F^*\left(s\right)$ a $Re\left(s\right)\ge 0$ félsíkon analitikus, így $F^*\left(0\right)=\int\limits_0^\infty f\left(t\right)dt.$


A Laplace-Stieltjes transzformált


3. Definíció Az $f(t)$, $t\in\bf R$ függvény Laplace-Stieltjes transzformáltján az

\begin{displaymath} \left(L-S\right)f(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st}df(t), \ \ \ \ \ s\in\bf C(L-S) \end{displaymath}

függvényt értjük. Mivel a Laplace- és Laplace-Stieltjes transzformáltak nagyon sok hasonló tulajdonsággal rendelkeznek, mi csak a Laplace-transzformáltra vonatkozó összefüggéseket soroljuk fel. Fontos speciális eset valamely sűrűségfüggvény Laplace-transzformáltja. Ez nyilvánvalóan egyben a hozzá tartozó eloszlásfüggvény Laplace-Stieltjes transzformáltja is. Az 1. ill. 2. táblázatban a generátorfüggvény ill. a Laplace-transzformált legfontosabb tulajdonságait soroljuk fel. 0pt

\begin{displaymath} \vbox{\halign{\strut\quad$ ...


\begin{displaymath} \vbox{\halign{\strut\quad$ ...

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>