Függelék
A függelékben a generátorfüggvény (melyet néha
z-transzformáltnak is nevezünk) és a Laplace-transzformált
néhány olyan tulajdonságát és rájuk vonatkozó
azonosságokat tekintünk át, melyeket a jegyzetbeli levezetések
folyamán -- és általában a sorbanállási elméletben
-- használni lehet. Ezen két transzformált alakja és tulajdonságai
igen hasonlóak. Mindössze alapvető definíciókra és
formulákra szorítkozunk, és talán hasznos is lesz, hogy
a felhasznált nem teljesen alapszintű apparátusról külön
is ejtünk néhány szót. Ajánlott irodalom pl. Karlin-Taylor
(1985), Medhi (1982), Osaki (1992), Rényi (1954, 1966).
A generátorfüggvény
Elsőként foglalkozzunk a generátorfüggvénnyel. Tekintsünk
egy diszkrét idejű függvényt, amely csak a nemnegatív
egész számokra vesz fel nem nulla értéket. Ezt a végtelen
sorozatot szeretnénk jellemezni egyetlen olyan függvénnyel, hogy
abból vissza tudjuk kapni az eredeti sorozatot, ha szükségünk
van rá.
1. Definíció: Legyen , ha , . Az sorozat z-transzformáltja vagy generátorfüggvénye
Egy sorozatnak létezik generátorfüggvénye, ha a sorozat tagjai
nem nőnek exponenciálisnál gyorsabban, azaz ha létezik , hogy . Egy adott sorozat generátorfüggvénye egyértelmű. Jelölés:
Valószínűségszámítási
problémáknál gyakran kell használnunk a eloszlás generátorfüggvényét, vagyis ebben az esetben
. Ekkor nyilvánvalóan analitikus a értékekre.
A Laplace-transzformált
A hasonló tulajdonságok miatt ezen szakasz gondolatmenete hasonlít
az előzőéhez. Most azonban folytonos idejű függvényeket tekintünk, melyek a folytonos
paraméter nemnegatív értékére vesznek csak
fel nullától különböző értékeket. ( ha .) Szeretnénk ezt a függvényt úgy transzformálni,
hogy a transzformált egy új komplex változó, mondjuk függvénye legyen, ne pedig függvénye. Most az -vel szorozzuk meg a függvényt.
2. Definíció: Legyen függvény. Ekkor az függvény Laplace-transzformáltja
Adott függvény Laplace-transzformáltja egyértelmű. Jelölés:
. Ha integrálja véges, akkor a félsíkon analitikus, így
A Laplace-Stieltjes transzformált
3. Definíció Az , függvény Laplace-Stieltjes transzformáltján
az
függvényt értjük. Mivel a Laplace- és Laplace-Stieltjes
transzformáltak nagyon sok hasonló tulajdonsággal rendelkeznek,
mi csak a Laplace-transzformáltra vonatkozó összefüggéseket
soroljuk fel. Fontos speciális eset valamely sűrűségfüggvény
Laplace-transzformáltja. Ez nyilvánvalóan egyben a hozzá tartozó
eloszlásfüggvény Laplace-Stieltjes transzformáltja is. Az
1. ill. 2. táblázatban a generátorfüggvény ill. a Laplace-transzformált
legfontosabb tulajdonságait soroljuk fel. 0pt