III. Középfokú sorbanállási elmélet

III.1. Az M/G/1 rendszer


A sorbanállási elmélet elemeinek megismerését megkönnyíti az állapot leírás egyszerűsége, különösen az, hogy a rendszer teljes múltját összefoglalja a pillanatnyilag jelen lévő igények száma. A Markov-típusú rendszer jövőbeli viselkedése szempontjából minden más múltbeli információ lényegtelen. A jól ismert $M/M/1$ rendszerben mind a beérkezési, mind a kiszolgálási folyamat Markov típusú (exponenciális eloszlású). Az $M/G/1$ rendszernél viszont a kiszolgálás általános eloszlású, következésképpen új problémákba ütközünk, és ezekre más megoldási módszereket kell találnunk. A jegyzetben a Palm-tól, Takácstól és Kendall-tól származó, úgynevezett beágyazott Markov-láncok módszerét fogjuk alkalmazni. Az $M/G/1$ rendszerben egyetlen kiszolgálóegység van, a beérkezési folyamat $\lambda$ paraméterű Poisson-folyamat, azaz a beérkezési időközök $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. A kiszolgálási idő eloszlása tetszőleges lehet, eloszlásfüggvényét $B\left(x\right)$, sűrűségfüggvényét $b\left(x\right)$, $k$-adik momentumát

\begin{displaymath} b_k:=\overline{x^k}:=\int\limits_0^\infty x^kb\left(x\right)dx \end{displaymath}

jelöli. Próbáljuk meg leírni az $M/G/1$ rendszer állapotait! Ha egy bizonyos $t$ időpontban a rendszer egész múltját akarjuk összefoglalni, akkor először is meg kell adnunk a $t$ pillanatban a rendszerben tartózkodó igények $N\left(t\right)$ számát, valamint azt, hogy a kiszolgálócsatornában lévő igény kiszolgálása már mennyi időt vett igénybe a $t$ pillanatig; jelölhetjük ezt $X_0\left(t\right)$-vel. Ez utóbbi amiatt szükséges, mert a kiszolgálási idő eloszlása nem feltétlenül emlékezetnélküli. (Viszont a beérkezési folyamat emlékezetnélküli, ezért az utolsó beérkezéstől eltelt időt nem kell megadnunk.) Így az $N\left(t\right)$ nem Markov-folyamat. Azonban az $\left[N\left(t\right), X_0\left(t\right)\right]$ vektor már az, és ezt tekinthetjük az $M/G/1$ rendszer állapotvektorának, hiszen tartalmazza a múltnak a folyamat jövőbeli alakulása szempontjából lényeges részét. Az $M/M/1$ rendszer esetén elég $N\left(t\right)$-t megadni, és így egy diszkrét állapotterű Markov-láncunk van, ahol az állapotok száma megszámlálható. Jelen esetben a kétdimenziós állapotleírás esetén az $N\left(t\right)$ megszámlálható ugyan, de az $X_0\left(t\right)$ folytonos, és ez megnehezíti a vizsgálatot.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>