Problémák

Problémák

1. Tekintsünk egy tiszta Markov-féle sorbanállási rendszert, amelyben

$\begin{displaymath} \lambda_k=\cases{\lambda,& ha $0\le k\le K$\cr 2\lambda,& ha $K<k;$\cr} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \mu_k=\mu,\ \ \ \ k=1,2,\ldots . \end{displaymath}$

a, Keressük meg a rendszerben tartózkodó igények számának $\{P_k\}$ stacionárius eloszlását! b, Milyen összefüggésnek kell fennállnia a paraméterek között ahhoz, hogy a rendszer stabilis legyen, vagyis az egyensúlyi helyzetet valóban el lehessen érni? Interpretáljuk a választ a rendszer dinamikájának fogalmaival!

2. Tekintsünk egy Markov-típusú sorbanállási rendszert, amelyben

$\begin{displaymath} \lambda_k= \alpha^k \lambda,\ \ \ \ k\ge 0,\ \ \ \ 0\le\alpha <1; \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \mu_k=\mu,\ \ \ \ \ k\ge 1. \end{displaymath}$

a, Fejezzük ki

segítségével annak $\{P_k\}$ stacionárius valószínűségeloszlását, hogy

igény van a rendszerben! b, Adjunk formulát a

valószínűségre!

3. Tekintsünk egy

sorbanállási rendszert, amelyben a beérkezések intenzitása $\lambda$ igény másodpercenként, az átlagos kiszolgálási idő $1/\mu$ másodperc, ahol $\lambda<2\mu$ . a, Határozzuk meg azt a differenciálegyenletet, amelyet a

időfüggő valószínűségek kielégítenek! b, Számítsuk ki a $P_k=\lim\limits_{t\to\infty} P_k(t)$ valószínűségekből álló stacionárius eloszlást!

4. Tekintsünk egy születési-halálozási folyamatot a következő intenzitásokkal:

$\begin{displaymath} \lambda_k= (k+2)\lambda, \ \ \ \ \hbox{ha} \ \ \ k=0,1,2,\ldots ; \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \mu_k=k\mu, \ \ \ \ \ \ \hbox{ha} \ \ \ k=1,2,3,\ldots . \end{displaymath}$

a, Keressük meg a

mennyiségeket. $\lambda,\ k,$ és $\mu$ segítségével fejezzük ki őket! b,Határozzuk meg a rendszerbeli igények számának várható értékét!

5. Felhasználva, hogy

$\begin{displaymath} B\left(m,{\lambda\over\mu}\right)={{{\left(\lambda\over\mu\... ...um\limits_{k=0}^m {{\left(\lambda\over\mu\right)}^k\over k!}} \end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath} C\left(m,{\lambda\over\mu}\right)={\left({{(m\varrho)}^m\ov... ...)}^m\over m!}\right)\left({1\over 1-\varrho}\right) \right]} \end{displaymath}$

bizonyítsuk be, hogy ha $\lambda/\mu >0,\ \ m=1,2,\ldots$ akkor

$\begin{displaymath} B\left(m, {\lambda\over \mu}\right) < \sum_{k=m}^\infty {{\... ...over \mu}} < C\left( m,{\lambda\over \mu}\right), \leqno (a) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} C \left(m, {\lambda\over \mu}\right)= { B\left(m, {\lambda\... ...t[1-B \left(m, {\lambda\over \mu}\right)\right]}, \leqno (b) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} B\left(m+1, {\lambda\over \mu}\right)= {{\mu\over \lambda} ... ...a\over \mu}B \left(m, {\lambda\over \mu}\right)}. \leqno (c) \end{displaymath}$

6. Az

rendszernél határozzuk meg az érkezési pillanatokban a stacionárius eloszlást, majd ennek felhasználásával az igények várakozási és tartózkodási idejének sűrűség- ill. eloszlásfüggvényét!

7. Bizonyítsuk be, hogy ha az

rendszernél $n\to\infty$ , $\lambda\to 0$ , úgy, hogy $n\lambda\to \lambda^{'}$ , akkor a rendszerjellemzők az

modell megfelelő jellemzőihez tartanak!

8. Mutassuk meg, hogy az rendszerben $\varrho$ kihasználtságnál és átlagos kiszolgálási időnél a rendszerben való tartózkodási idő várható értéke mindig kisebb, mint az rendszerben $\varrho$ kihasználtsággal és átlagos kiszolgálási idővel!

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>