III.1.1. A hátralévő élettartam paradoxona
Mielőtt nekilátnánk a beágyazott Markov-láncok ismertetésének,
meg kell értenünk a még hátralévő kiszolgálási
idő néhány tulajdonságát. Azzal az esettel foglalkozunk,
amikor a beérkező igény egy részben kiszolgált igényt
talál a kiszolgáló csatornában. Egy látszólagos
paradoxonnal kezdjük. Tegyük fel, hogy valaki egy tetszőleges pillanatban
egy villamosmegállóhoz ér és aztán villamosra vár.
Tegyük fel még, hogy ehhez a megállóhoz Poisson-folyamat
szerint érkeznek a villamosok, átlagosan percenként villamos. Átlagosan menny időt kell várnunk a következő
villamos érkezésére? Két, egyaránt logikusnak tűnő
választ is adhatunk:
Mivel a villamosok beérkezése közötti idő átlagosan
perc, és mivel egy véletlen időpontban érkeztünk,
ezért átlagosan percet kell várnunk.
A Poisson-folyamat emlékezetnélkülisége miatt a következő
beérkezésig eltelt idő független az előző beérkezés
óta eltelt időtől, tehát átlagosan percet kell várnunk. Ezért az utolsó beérkezéstől
addig az időpontig eltelt idő, mikor várni kezdtünk a villamosra,
szintén perc. Így az utolsó és a következő
villamos beérkezése közötti idő átlagosan perc, ami -szer olyan hosszú, mint amilyennek a Poisson folyamat esetében
lennie kellene. Tehát látszólag paradoxonnal állunk szemben.
A következőkben belátjuk, hogy a második válasz a helyes.
Ehhez tetszőleges eloszlású beérkezési időközöket
veszünk, és az egyszerűség kedvéért felújításelméleti
terminológiát használunk, és felújításelméleti
eredményekre is hivatkozunk. Ezekről bővebben olvasható Karlin - Taylor
(1985)-ben. Tekintsük az 1. ábrát. jelentse a -adik villamost, az érkezési időpontját. Tegyük fel, hogy
a időközök független, azonos eloszlású
valószínűségi változók, melyek eloszlása és
sűrűségfüggvénye:
1. ábra
Legyen egy elég nagy konstans és a szakaszon válasszunk ki egy véletlen időpontot, ekkor érkezünk a megállóba. Az ábrán
a időpont előtt utoljára érkezett villamos, és az első amely után érkezik. Ezt az beérkezési időközt jelölje , és legyen az az idő, amit a következő beérkezésig várnunk
kell. A felújításelmélet nyelvén a pontok egy felújítási folyamatot alkotnak,
azaz azon felújítási pillanatok sorozata, mikor
egy régi alkatrész tönkremegy és azonnal egy újjal pótolják.
az alkatrész élettartama, a időponthoz képest még hátralévő élettartama,
az alkatrész kora. Keressük az és sűrűségfüggvényét. Feltehetjük, hogy a folyamat
régóta tart, mivel csak a határeloszlásokra vagyunk kíváncsiak.
A hátralévő élettartam eloszlását jelölje
sűrűségfüggvényét
A kiválasztott élettartam sűrűségfüggvénye legyen , eloszlásfüggvénye
Vegyük észre, hogy ha két felújí< tási pont között
hosszú idő telik el, akkor az az időtengely hosszabb szakaszát foglalja
el, mint egy rövidebb időtartam, és nagyobb valószínűséggel
esik a véletlen időpillanat a hosszú intervallumba, mint a rövidbe.
Ennek szellemében el kell fogadnunk azt is, hogy annak a valószínűségnek,
hogy egy hosszúságú intervallumot választunk ki, arányosnak
kell lennie az hosszal, és az ilyen hosszúságú intervallumok
relatív gyakoriságával, amit ad meg. Így a kiválasztott intervallumra
felírhatjuk, hogy
ahol a bal oldal , a jobb oldal pedig tazt jelenti, hogy
ez arányos az intervallum hosszával. A konstanst úgy választjuk, hogy helyesen normalizálja
a sűrűségfüggvényt. Mindkét oldalt integrálva -et kapunk, ahol
a felújítások közötti idő várható értéke.
Tehát
Ez azt jelenti, hogy az nem eloszlású! A korábbi példa szavaival
élve ez azt jelenti, hogy az az intervallum, amit azáltal választunk
ki, hogy a villamosmegállóhoz érünk, nem egy tipikus intervallum!
Itt rejlik a paradoxon megoldása: valószínűbb, hogy egy hosszabb
intervallumot fogunk ki, mint egy rövidebbet. Látni fogjuk, hogy Poisson-folyamat
esetében ez azt jelenti, hogy a kiválasztott intervallum kétszer
olyan hosszú, mint egy tipikus intervallum. Keressük most meg a hátralévő
idő sűrűségfüggvényét. Ha feltesszük,
hogy , akkor annak a valószínűsége, hogy az hátralévő élettartam nem haladja meg az értéket,
ha . Ez azért igaz, mert az pontot egyenletes eloszlás szerint választottuk. Felírhatjuk
tehát az és együttes eloszlásfüggvényét:
ahol . szerint integrálva kapjuk az sűrűségfüggvényt, amely feltétel nélküli sűrűségfüggvénye, azaz
innen
Ez megadja a hátralévő élettartam sűrűségfüggvényét
a beérkezési időközök eloszlásfüggvénye és
várható értéke segítségével. Jelölje ill. az ill. Laplace-transzformáltját. Mivel nemnegatív
valószínűségi változókkal dolgozunk, az -et egyszerűen transzformálhatjuk a függelékbeli táblázataink
segítségével. Látható, hogy az
Laplace-transzformáltja
Ezek után könnyen kifejezhetjük a hátralévő élettartam
momentumait az élettartam momentumaival. Legyen az élettartam -edik momentuma, pedig a hátralévő élettartam -edik momentuma, azaz .
Alakítsuk az -et.
így
Mivel
ezért
melyből
azaz
Ezek után parciális integrálással
Tehát
azaz
Speciális esetként kapjuk a várható értéket:
ahol . Emiatt nyilvánvaló, hogy a korábbi
paradoxonra a helyes válasz csak akkor , azaz a beérkezési időköz várható
értékének a fele, ha , vagyis állandó beérkezési időközök
esetén. Poisson-típusú beérkezési folyamatnál
, így , azaz korábban valóban jó megoldást
adtunk a paradoxonra. Jegyezzük még meg, hogy , és , ha !