I.1. Felújításelmélet

I.1. Felújításelmélet

Legyenek $\{X_k\}_{k=1}^\infty$ nemnegatív, azonos eloszlású, egymástól független valószínűségi változók. Az

$\begin{displaymath} S_n=X_1+\cdots +X_n,\ \ n\ge 1,\ \ S_0=0 \end{displaymath}$

valószínűségi változók segítségével definiáljuk a következő folyamatot

$\begin{displaymath} N(t)=\max_n\{S_n\le t\}. \end{displaymath}$

1. Definíció Az $\{N(t), t\ge 0\}$ sztochasztikus folyamatot felújítási folyamatnak nevezzük.

A következő interpretációt adhatjuk. Bizonyos események bekövetkezését figyeljük. Jelölje

-edik és az

-edik esemény közötti időtartamot. Ekkor

időtartam alatt bekövetkezett események számát adja. Az

valószínűségi változót az

-edik esemény bekövetkezéséhez szükséges várakozási időnek nevezzük. Könnyű belátni, hogy

realizációi jobbról folytonos lépcsős függvények, ahol egységnyi ugrások történnek az

időpillanatokban. Az

definíciójából egyből következik, hogy

$\begin{displaymath} \{N(t)\ge n\}\Longleftrightarrow \{S_n\le t\}. \end{displaymath}$

( $\Longleftrightarrow$ az ekvivalenciát jelöli) Vezessük be a következő jelöléseket. Legyen

$\begin{displaymath} F(x)=P(X_k\le x),\ \ \ F_n(x)=P(S_n\le x), \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath} F_n(x)=\int\limits_0^xF_{n-1}(x-y)dF(y),\ \ n\ge 2, \end{displaymath}$

vagyis

eloszlásfüggvény önmagával vett

-szeres konvolúciója. (Jelölése $F*\cdots *F$ .) Feltehetjük, hogy

2. Definíció Az

függvényt felújítási függvénynek nevezzük.

Az alábbiakban

-re és

-re mondunk ki néhány fontos tételt.

1. Tétel

$\begin{displaymath} P(N(t)=k)=F_k(t)-F_{k+1}(t),\ \ t\ge 0, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} M(t)=E(N(t))=\sum_{k=1}^\infty F_k(t). \end{displaymath}$

Bizonyítás. Látható, hogy

$\begin{displaymath} \{N(t)=k\} \Longleftrightarrow \{S_k\le t<S_{k+1}\}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \{S_{k+1}\le t\}\subset\{S_k\le t\}, \end{displaymath}$

vagyis

$\begin{displaymath} \{N(t)=k\}=\{S_k\le t\}\setminus\{S_{k+1}\le t\}. \end{displaymath}$

Azonban így

$\begin{displaymath} P(N(t)=k)=F_k(t)-F_{k+1}(t). \end{displaymath}$

Továbbá

$\begin{displaymath} M(t)=\sum_{k=1}^\infty k(F_k(t)-F_{k+1}(t))=\sum_{k=1}^\infty F_k(t). \end{displaymath}$

Meg lehet mutatni, hogy

$\begin{displaymath} M(t)<\infty,\ \ t\ge 0. \end{displaymath}$

Meg kell jegyeznünk, hogy ha $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ , akkor

$\lambda$ paraméterű Poisson-folyamatot alkot.

2. Tétel Az

folyamatra teljesül a nagy számok erős törvénye, azaz

valószínűséggel

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty}{N(t)\over t}={1\over\mu}, \end{displaymath}$

ahol $\mu=E(X_n)\le\infty$ .

Bizonyítás. Tekintsük a

intervallumot, ekkor

$\begin{displaymath} S_{N(t)}\le t<S_{N(t)+1}. \end{displaymath}$

Azonban az

sorozatra igaz a nagy számok erős törvénye, azaz $n\to\infty$ esetén

$\begin{displaymath} {S_n\over n}\to\mu \end{displaymath}$

valószínűséggel. Továbbá

valószínűséggel

$\begin{displaymath} {S_{N(t)}\over N(t)}\to\mu. \end{displaymath}$

Hasonlóan,

valószínűséggel

$\begin{displaymath} {S_{N(t)+1}\over N(t)}={S\uml {e}_{N(t)+1}\over N(t)+1}\cdot{N(t)+1\over N(t)}\to\mu. \end{displaymath}$

Így az

$\begin{displaymath} {N(t)\over S_{N(t)+1}}<{N(t)\over t}\le{N(t)\over S_{N(t)}} \end{displaymath}$

relációból az

$\begin{displaymath} {N(t)\over t}\to{1\over\mu} \end{displaymath}$

összefüggést kapjuk.

Az alábbiakban bizonyítás nélkül közlünk néhány fontos tételt, amelyek az alkalmazásban nagy szerepet játszanak.

3. Tétel(Elemi felújítási tétel)

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty}{M(t)\over t}={1\over\mu}. \end{displaymath}$

4. Tétel

$\begin{displaymath} {D^2(N(t))\over t}\to{\sigma^2\over\mun^3}, \end{displaymath}$

ahol $\sigma^2=D^2(X_1)$ .

5. Tétel Legyen $\mu<\infty$ , és $\sigma^2<\infty$ . Ekkor

$\begin{displaymath} P\left({N(t)-{t\over\mu}\over\sqrt{\sigma^2 t\over\mu^3}}\le y\right)\to\Phi(y). \end{displaymath}$

3. Definíció Az

nemnegatív valószínűségi változót (vagy az

eloszlásfüggvényt) rácsosnak nevezzük, ha létezik olyan $\delta>0$ , melyre $\sum\limits_{n=0}^\infty P(X=n\delta)=1$ , azaz

értékei $n\delta$ alakú számok. Ekkor $\delta$ -t

periódusának nevezzük.

6. Tétel (Blackwell-tétel) (i) Ha

nem rácsos eloszlású, akkor $\forall\ \tau\ge 0$ esetén

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty}\left[M(t+\tau)-M(t)\right]={\tau\over\mu}, \end{displaymath}$

(ii) Ha

periódusa $\delta$ , akkor

$\begin{displaymath} \lim\limits_{n\to\infty}\left[M(n\delta)-M((n-1)\delta)\right]={\delta\over\mu}, \end{displaymath}$

Legyen

korlátos függvény a $[0,\infty)$ -en. Továbbá tegyük fel, hogy az alábbi feltételek is teljesülnek még

(i) $h(t)\ge 0,\ \ t\ge 0$ ,

(ii)

nemnövekvő,

(iii) $\int\limits\limits_0^\infty h(t)dt<\infty$ . Ekkor kimondhatjuk az ún. alaptételt, amely nagyon nagy jelentőségű az alkalmazott valószínűségszámítási modelleknél.

7. Tétel (Smith-tétel, vagy a felújításelmélet alaptétele) Ha

nem rácsos, akkor

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty}\int\limits_0^t h(t-x)dM(x)={1\over\mu}\int\limits_0^\infty h(t)dt. \end{displaymath}$

Meg kell jegyeznünk, hogy a Blackwell-tétel és Smith-tétel ekvivalensek. Térjünk vissza az

$\begin{displaymath} M(t)=E(N(t))=\sum_{n=1}^\infty F_n(t) \end{displaymath}$

összefüggésre. Látható, hogy

$\begin{displaymath} M(t)=F(t)+\sum_{n=1}^\infty F*F_n(t)=F(t)+F*\sum_{n=1}^\infty F_n(t)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =F(t)+F*M(t)=F(t)+\int\limits_0^t M(t-x)dF(x). \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} M(t)=F(t)+\int\limits_0^t M(t-x)dF(x) \end{displaymath}$

összefüggést felújítási egyenletnek nevezzük. Az

$\begin{displaymath} F^*(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st}dF(t),\ \ \ \ M^*(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st}dM(t) \end{displaymath}$

Laplace-Stieltjes transzformáltakra igaz

$\begin{displaymath} M^*(s)=F^*(s)+M^*(s)\cdot F^*(s). \end{displaymath}$

Ebből

$\begin{displaymath} M^*(s)={F^*(s)\over 1-F^*(s)} , \end{displaymath}$

illetve

$\begin{displaymath} F^*(s)={M^*(s)\over 1+M^*(s)} , \end{displaymath}$

azaz

és

kölcsönösen meghatározzák egymást. Először általánosítjuk a felújítási egyenletet a következőképpen:

$\begin{displaymath} g(t)=h(t)+\int\limits_0^t g(t-x)dF(x) , \end{displaymath}$

ahol

és

ismert függvények

pedig az ismeretlen a fenti integrálegyenletben. Megmutatjuk, hogy

$\begin{displaymath} g(t)=h(t)+\int\limits_0^t h(t-x)dM(x) , \end{displaymath}$

ahol $M(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty F_n(t)$ a felújítási függvény. Vegyük a Laplace-Stieltjes transzformáltakat mindkét oldalon. Ekkor

$\begin{displaymath} g^*(s)=h^*(s)+g^*(s)\cdot F^*(s). \end{displaymath}$

Ebből az előzőek szerint

$\begin{displaymath} g^*(s)={h^*(s)\over 1-F^*(s)}=h^*(s)+h^*(s){F^*(s)\over 1-F^*(s)}= h^*(s)+h^*(s)\cdot M^*(s). \end{displaymath}$

Invertálva

$\begin{displaymath} g(t)=h(t)+\int\limits_0^t h(t-x)dM(x). \end{displaymath}$

Vezessük be a következő valószínűségi változókat: $\gamma_t=S_{N(t)+1}-t$ : hátralévő élettartam, $\delta_t=t-S_{N(t)}$ : eltelt időtartam, vagy életkor, $\beta_t=\delta_t+\gamma_t$ : teljes élettartam. Vizsgáljuk mo<st meg a $\gamma_t$ hátralévő élettartam és a $\delta_t$ eltelt időtartam asszimptotikus eloszlását! A definíciókból látható, hogy

$\begin{displaymath} P(\gamma_t>x \ \vert \ X_1=y)=\cases{P(\gamma_{t-y}>x)&, ha... ...e t$, \cr 0 &, ha $t<y\le t+x$, \cr 1 &, ha $y>t=x$. \cr} \end{displaymath}$

Így

$\begin{displaymath} P(\gamma_t>x)=\int\limits_0^\infty P(\gamma_t>x\ \vert \ X_1=y)dF(y)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =\int\limits_0^t P(\gamma_t>x)dF(y)+\int\limits_t^{t+x} 0 dF(y)+ \int\limits_{t+x}^\infty 1 dF(y)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =\int\limits_0^t P(\gamma_t>x)dF(y)+1-F(t+x) , \end{displaymath}$

amely az általánosított felújítási egyenlet. Legyen

. Mint láttuk

$\begin{displaymath} P(\gamma_t>x)=h(t)+\int\limits_0^t h(t-y)dM(y). \end{displaymath}$

Tekintsük a $t\to\infty$ határátmenetet. Vegyük észre, hogy $\lim\limits_{t\to\infty} h(t)=0$ , és alkalmazva a Smith-féle alaptételt

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty} P(\gamma_t>x)={1\over \mu} \int\l... ...y (1-F(t+x))dt= {1\over \mu}\int\limits_x^\infty (1-F(y))dy. \end{displaymath}$

A $P(\gamma_t\le x)=1-P(\gamma_t>x)$ alapján

$\begin{displaymath} P(\gamma_t<x)=F(t+x)-\int\limits_0^t (1-F(t+x-y))dM(y) , \end{displaymath}$

illetve

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty} P(\gamma_t<x)={1\over \mu}\int\limits_0^x(1-F(y))dy , \end{displaymath}$

nem rácsos.

Tekintsük a $\delta_t$ , $\gamma_t$ valószínűségi változókat. Vegyük észre, hogy

$\begin{displaymath} \delta_t>x \Longleftrightarrow \hbox{ nincs fel\'uj\'\i t\'as a } [t-x,t]-\hbox{n}, \end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath} \gamma_{t-x}>x \Longleftrightarrow \hbox{ nincs fel\'uj\'\i t\'as a } [t-x,t]-\hbox{n}. \end{displaymath}$

Ebből

$\begin{displaymath} P(\delta_t>x)=P(\gamma_{t-x}>x). \end{displaymath}$

Az előzőek alapján

$\begin{displaymath} P(\delta_t\le x)=\cases{F(t)-\int\limits_0^{t-x} (1-F(t-y))dM(y)&, ha $x \le t$, \cr 1 &, ha $x>t$. \cr} \end{displaymath}$

Bebizonyítható, hogy

$\begin{displaymath} \lim\limits_{t\to\infty} P(\gamma_t>x,\ \delta_t>y)={1\over \mu}\int\limits_{x+y}^\infty (1-F(u))du. \end{displaymath}$

Az is belátható, hogy

$\begin{displaymath} \gamma_t \hbox{ \'es }\delta_t \hbox{ f\uml uggetlen } \Longleftrightarrow \hbox{ ha } F(x)=1-e^{-\lambda x}. \end{displaymath}$

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>