I.1. Felújításelmélet
Legyenek
nemnegatív, azonos eloszlású, egymástól
független valószínűségi változók. Az
valószínűségi változók segítségével definiáljuk
a következő folyamatot
1. Definíció Az
sztochasztikus folyamatot felújítási
folyamatnak nevezzük.
A következő interpretációt adhatjuk. Bizonyos események bekövetkezését
figyeljük. Jelölje
az
-edik és az
-edik esemény közötti időtartamot. Ekkor
a
időtartam alatt bekövetkezett események számát
adja. Az
valószínűségi változót az
-edik esemény bekövetkezéséhez szükséges
várakozási időnek nevezzük. Könnyű belátni, hogy
realizációi jobbról folytonos lépcsős függvények,
ahol egységnyi ugrások történnek az
időpillanatokban. Az
definíciójából egyből következik, hogy
(
az ekvivalenciát jelöli) Vezessük
be a következő jelöléseket. Legyen
ahol
vagyis
az
eloszlásfüggvény önmagával vett
-szeres konvolúciója. (Jelölése
.) Feltehetjük, hogy
.
2. Definíció Az
függvényt felújítási függvénynek
nevezzük.
Az alábbiakban
-re és
-re mondunk ki néhány fontos tételt.
1. Tétel
Bizonyítás. Látható, hogy
vagyis
Azonban így
Továbbá
Meg lehet mutatni, hogy
Meg kell jegyeznünk, hogy ha
, akkor
paraméterű Poisson-folyamatot alkot.
2. Tétel Az
folyamatra teljesül a nagy számok erős törvénye,
azaz
valószínűséggel
ahol
.
Bizonyítás. Tekintsük a
intervallumot, ekkor
Azonban az
sorozatra igaz a nagy számok erős törvénye, azaz
esetén
valószínűséggel. Továbbá
valószínűséggel
Hasonlóan,
valószínűséggel
Így az
relációból az
összefüggést kapjuk.
Az alábbiakban bizonyítás nélkül közlünk
néhány fontos tételt, amelyek az alkalmazásban nagy szerepet
játszanak.
3. Tétel(Elemi felújítási
tétel)
4. Tétel
ahol
.
5. Tétel Legyen
, és
. Ekkor
3. Definíció Az
nemnegatív valószínűségi változót (vagy
az
eloszlásfüggvényt) rácsosnak nevezzük,
ha létezik olyan
, melyre
, azaz
értékei
alakú számok. Ekkor
-t
periódusának nevezzük.
6. Tétel (Blackwell-tétel) (i) Ha
nem rácsos eloszlású, akkor
esetén
(ii) Ha
periódusa
, akkor
Legyen
korlátos függvény a
-en. Továbbá tegyük fel, hogy az alábbi
feltételek is teljesülnek még
(i)
,
(ii)
nemnövekvő,
(iii)
. Ekkor kimondhatjuk az
ún. alaptételt, amely nagyon nagy jelentőségű az alkalmazott valószínűségszámítási
modelleknél.
7. Tétel (Smith-tétel, vagy a felújításelmélet
alaptétele) Ha
nem rácsos, akkor
Meg kell jegyeznünk, hogy a Blackwell-tétel és Smith-tétel
ekvivalensek. Térjünk vissza az
összefüggésre. Látható, hogy
Az
összefüggést felújítási egyenletnek nevezzük.
Az
Laplace-Stieltjes transzformáltakra igaz
Ebből
illetve
azaz
és
kölcsönösen meghatározzák egymást.
Először általánosítjuk a felújítási
egyenletet a következőképpen:
ahol
és
ismert függvények
pedig az ismeretlen a fenti integrálegyenletben. Megmutatjuk,
hogy
ahol
a felújítási függvény.
Vegyük a Laplace-Stieltjes transzformáltakat mindkét oldalon. Ekkor
Ebből az előzőek szerint
Invertálva
Vezessük be a következő valószínűségi változókat:
: hátralévő élettartam,
: eltelt időtartam, vagy életkor,
: teljes élettartam. Vizsgáljuk
mo<st meg a
hátralévő élettartam és a
eltelt időtartam asszimptotikus eloszlását! A definíciókból
látható, hogy
Így
amely az általánosított felújítási egyenlet. Legyen
. Mint láttuk
Tekintsük a
határátmenetet. Vegyük észre, hogy
, és alkalmazva a Smith-féle
alaptételt
A
alapján
illetve
ha
nem rácsos.
Tekintsük a
,
valószínűségi változókat. Vegyük
észre, hogy
és
Ebből
Az előzőek alapján
Bebizonyítható, hogy
Az is belátható, hogy