I.2.1.2 Az átmenet- és abszolút valószínűségek


Tekintsünk egy homogén Markov-láncot

 

\begin{displaymath} p_{ij}=P(\xi_n=j\ \vert\ \xi_{n-1}=i) \leqno(2) \end{displaymath}


átmenetvalószínűségekkel. Legyen továbbá $P(\xi_n=j) =P_j(n)$. Nyilvánvalóan fennáll, hogy $\sum\limits_k p_{ik}=1$ és $p_{ij}\ge 0$. A $p_{ij}$ átmenetvalószínűségek elrendezhetők a következő mátrix alakban:

 

\begin{displaymath} \pi=\pmatrix{p_{11}&p_{12}&p_{13}&\ldots\cr < p_{21}&p_{2... ...&p_{33}&\ldots\cr \vdots&\vdots&\vdots&\ddots\cr}.\leqno(3) \end{displaymath}


$\pi$ az ún. átmenetvalószínűségek mátrixa. A $\pi$ mátrix négyzetes, elemei nem negatívak, és a sorok összege $1$. Egy ilyen mátrixot sztochasztikus mátrixnak nevezünk. Egy Markov-lánc egyértelműen meg van határozva a $\pi$ mátrix és a $(P_j(0))$ kezdeti eloszlás megadásával. A $(P_j(n))$ eloszlás meghatározására vezessük be az $n$ lépéses átmenetvalószínűségek fogalmát. Ezeket a következőképpen értelmezzük:

\begin{displaymath} p_{ij}^{(n)}= P(\xi _{m+n}=j\ \vert\ \xi_m=\~{A}i).\leqno(4) \end{displaymath}


Könnyen belátható, hogy homogén Markov-lánc esetén ez a feltételes valószínűség nem függ $m$-től. A teljes valószínűség tétele alapján a $P_j(n)$ abszolút valószínűségek a következőképpen határozhatók meg:

\begin{displaymath} P_j(n)=\sum\limits_i P_i(0)\cdot p_{ij}^{(n)}.\leqno(5) \end{displaymath}

A $p_{ij}^{(n)} n$-lépéses átmenetvalószínűségek kiszámítása a $p_{ij}$ átmenetvalószínűségek segítségével történik a következő rekurzív képlet alapján:


\begin{displaymath} p_{ij}^{(n)}=\sum\limits_k p_{ik} p_{kj}^{(n-1)} ,\leqno(6) \end{displaymath}


amely a teljes valószínűség tétele alkalmazásával igazolható. Speciálisan $p_{ij}^{(1)}=p_{ij}$. Ha a $p_{ij}^{(n)}$ átmenetvalószínűségeket is elrendezzük mátrix alakban, úgy ez a mátrix $\pi^n$, azaz a $\pi$ mátrix $n$-edik hatványa lesz. Ez teljes indukcióval igazolható, a mátrixok szorzási szabálya alapján, a fenti rekurzív képlet tekintetbe vételével.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>