I.2.2.2. A Markov-folyamatok definíciója


Tekintsük a $t$ paraméter véges vagy végtelen intervallumba eső értékeire értelmezett valós $\xi_t$ valószínűségi változók összeségét. A $(\xi_t)$ sztochasztikus folyamatot Markov-folyamatnak nevezzük, ha fennáll

\begin{displaymath} P(\xi_t\le x\ \vert\ \xi_{u_1}= y_1, \xi_{u_2}= y_2,\ldots,... ..._{u_n}= y_n)= P(\xi_t\le x\ \vert\ \xi_{u_n}= y_n) \leqno(13) \end{displaymath}


valamennyi $u_1<u_2<\ldots <u_n<t$-re és a szóban forgó változók összes lehetséges értékeire. Ilyen módon a Markov-folyamatok a Markov-láncok közvetlen általánosításának tekinthetők. Ha egy Markov-folyamatnál ismerjük a $\xi_0$ változó $P(\xi_0\le x)= P(0,x)$ kezdeti eloszlását és a következő feltételes eloszlásfüggvényeket,

\begin{displaymath} P(\xi_t\le x\ \vert\ \xi_s=y) =F(s,y;t,x)\ \ \ ({\rm ahol} \ (s<t),\leqno(14) \end{displaymath}


az ún. átmenetvalószínűségeket, úgy ezzel a folyamat egyértelműen meg van határozva. Speciálisan a $P(\xi_t\le x)= P(t,x)$ eloszlásfüggvényt

\begin{displaymath} P(t,x)=\int\limits_{-\infty}^\infty F(0,y,t,x) d_yF(0,y)\leqno(15) \end{displaymath}


szolgáltatja. A teljes valószínűség tétele szerint könnyen belátható, hogy az $F(s,y,t,x)$ átmenetvalószínűségekre fennáll az

\begin{displaymath} F(s,y,t,x)= \int\limits_{-\infty}^\infty F(u,z,t,x) d_z F(s,y,u,z) \end{displaymath}

ún. Chapman-Kolmogorov egyenlet, ahol $s < u < t$. A $(\xi_t)$ Markov-folyamatot ergodikusnak nevezzük, ha létezik a $\lim\limits_{t\to\infty} P(\xi_t\le x\ \vert\ \xi_0=y)$ határeloszlásfüggvény és független $y$-tól. Ekkor $\lim\limits_{t\to\infty} P(t,x)$ is létezik és az előzővel megegyezik. A $\xi_0$ változó $P(0,x)$ eloszlását stacionáriusnak mondjuk, ha $P(\xi_t\le x)=P(t,x)=P(0,x)$. A $(\xi_t)$ Markov-folyamatot osztályozhatjuk még aszerint is, hogy $\xi_t$ értékkészlete diszkrét vagy $\xi_t$ változása folytonos, vagy $\xi_t$ változása folytonos és ugrásszerű lehet.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>