II.5.1. Az <n/M/M/1> modell

II.5.1. Az <n/M/M/1> modell

Feltesszük, hogy az igények egy elemű véges forrásból érkeznek, ahol a forrásban eltöltött idő minden igény esetén egymástól független $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. A kiszolgálási idők szintén exponenciális eloszlásúak $\mu$ paraméterrel és függetlenek az előbbi valószínűségi változóktól. Jelölje a időpillanatban a kiszolgáló egységnél tartózkodó igények számát. Az előbbiekhez hasonlóan nem nehéz belátni, hogy is egy születési-kihalási folyamat

$\begin{displaymath} \lambda_k=\cases{ (n-k)\lambda&\hbox{, ha $0\leq k\leq n$,}\cr 0&\hbox{, ha $k>n$,}\cr} \end{displaymath}$

születési intenzitásokkal, és

$\begin{displaymath} \mu_k=\mu, \qquad k\geq 1, \end{displaymath}$

kihalási intenzitással. Így

$\begin{displaymath} P_k={n! \over (n-k)!}\varrho^kP_0=(n-k+1)\varrho P_{k-1}, \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath} \varrho={\lambda \over \mu}, \end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath} P_0={1 \over 1+\sum\limits_{k=1}^n{n! \over (n-k)!}\varrho^k}= {1 \over \sum\limits_{k=0}^n{n! \over (n-k)!}\varrho^k}. \end{displaymath}$

Az ergodikus eloszlás mindig létezik, de ha $\varrho>1$ akkor az igények torlódnak és több kiszolgálóegységre lenne szükség. Az előbbi valószínűségekre egy másik kifejezést is megadunk, amely numerikus számításoknál könnyebben alkalmazható. Legyen $P(k;\lambda)$ a $\lambda$ paraméterű Poisson-eloszlás és $Q(k;\lambda)$ ennek kummulatív eloszlása, azaz

$\begin{displaymath}P(k;\lambda)={\lambda^k \over k!}e^{-\lambda}, \qquad 0\leq k<\infty; \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Q(k;\lambda)=\sum_{i=0}^kP(i;\lambda), \qquad 0\leq k<\infty. \end{displaymath}$

Megmutatjuk, hogy

$\begin{displaymath} P_k={P(n-k;R) \over Q(n;R)}, \qquad 0\leq k\leq n, \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath} R={\mu \over \lambda}=\varrho^{-1}. \end{displaymath}$

Ugyanis

$\begin{displaymath} {P(n-k;R) \over Q(n;R)}= {{n! \over (n-k)!}{\mu \overwithd... ...{k=0}^n {n! \over (n-i)!} \left(\lambda\over\mu\right)^i } . \end{displaymath}$

Az n/M/M/1 rendszer jellemzői:

(I.) A szerver kihasználtsága és a rendszer átbocsátóképessége:

A szerver kihasználtsága:

$\begin{displaymath} U_s=1-P_0. \end{displaymath}$

A korábbi rekurzív ös<szefüggést felhasználva

$\begin{displaymath} U_s={Q(n-1;R) \over Q(n;R)}. \end{displaymath}$

A rendszer átbocsátóképessége:

$\begin{displaymath} \lambda_t=\mu U_s. \end{displaymath}$

(II.) A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{N}=\sum_{k=0}^nkP_k= n-\sum_{k=0}^n(n-k)P_k=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=n-{1 \over \varrho }\sum_{k=0}^n(n-k)\varrho P_k= n-{1 \over \varrho }\sum_{k=0}^{n-1}P_{k+1}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=n-{1 \over \varrho }(1-P_0)= n-{U_s \over \varrho }. \end{displaymath}$

Másképpen:

$\begin{displaymath} \overline{N}=n-{RQ(n-1;R) \over Q(n;R)}=n-{U_s\over \varrho}. \end{displaymath}$

(III.) Az átlagos sorhossz:

$\begin{displaymath} \overline{Q}=\sum_{k=1}^n(k-1)P_k=\sum_{k=1}^nkP_k-\sum_{k=1}^nP_k= n-{\mu \over \lambda }(1-P_0)-(1-P_0)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=n-(1-P_0)(1+{\mu \over \lambda })= n-\left({1 +{1 \over \varrho} }\right) U_s.\end{displaymath}$

(IV.) Az igénygenerálásra alkalmas teminálok átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{m} = \sum_{k=0}^n (n-k)P_k = n-\overline{N} = {\mu \over \lambda } (1-P_0)={U_s \over \varrho }. \end{displaymath}$

(V.) A szerver átlagos foglaltsági periódushossza: Mivel

$\begin{displaymath} U_s=1-P_0={E\delta \over {1 \over n\lambda }+E\delta}, \end{displaymath}$

ezért

$\begin{displaymath} E\delta={1-P_0 \over n\lambda P_0}={U_s\over n\lambda(1-U_s)}. \end{displaymath}$

(VI.) A várakozás valószínűsége:

$\begin{displaymath} P(W>0)=\sum_{k=1}^nP_k=1-P_0=U_s. \end{displaymath}$

Számítógépes alkalmazásoknál gyakran szükségünk van az alábbi jellemzőkre is.

(VII.) A terminálok kihasználtsága:

Véges forrás esetén szükségünk van arra az újabb mérőszámra is , amely a gépkiszolgálási probléma esetén is nagyon fontos. Az

indexű terminál kihasználtságán az

$\begin{displaymath}U^{(i)} = \lim_{T\to\infty}{1\over T}\int\limits_0^T\chi(\hbox{a $t$ időpillanatban az $i$-edik termin\'al műk\uml odik})dt\end{displaymath}$

határértéket értjük, ha létezik. Ekkor (5) szerint

$\begin{displaymath}U^{(i)} = P(\hbox{ az $i$-edik termin\'al műk\uml odik})\ ,\end{displaymath}$

ahol P a stacionárius valószínűséget jelöli.

Nyilvánvaló, hogy a terminálok (az igénygenerálás forrásai) akkor vannak kihasználva, ha működnek, így az összes terminál kihasználtsága:

$\begin{displaymath} U_n=\sum_{k=0}^n(n-k)P_k=\overline{m}={\mu \over \lambda }(1-P_0). \end{displaymath}$

Egy tetszőleges terminál kihasználtsága:

$\begin{displaymath} U_t={\mu \over n\lambda }(1-P_0)={\overline{m} \over n}. \end{displaymath}$

Ezt az összefüggést a következőképpen is megkaphatjuk. Látható, hogy

$\begin{displaymath}U^{(i)} = \sum_{k=1}^n {n-k \over n}P_k = {\overline{m} \over n},\end{displaymath}$

mivel a terminálok azonos kihasználtságúak, így

$\begin{displaymath}U_t = U^{(i)}\ .\end{displaymath}$

(VIII.) A terminálok átlagos várakozási ideje:

(5) alapján:

$\begin{displaymath} U_t={1/\lambda \over 1/\lambda +\overline{W}+1/\mu}= {\overline{m} \over n}. \end{displaymath}$

Ebből

$\begin{displaymath} \lambda \overline{m}={n \over 1/\lambda +\overline{W}+1/\mu}, \end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath} \lambda\overline{m}\overline W=n-\overline{m}\left(1+{\lamb... ... \mu}\right)= n-{U_s \over \varrho}(1+\varrho)=\overline{Q}, \end{displaymath}$

ami az átlagos sorhosszra vonatkozó Little-formula. Így

$\begin{displaymath} \overline{W}={\overline{Q} \over \lambda\overline{m}}. \end{displaymath}$

Az átlagos válaszolási idő:

$\begin{displaymath} \overline{T}=\overline{W}+{1 \over \mu }= {1 \over \mu }\l... ... {1 \over \mu }\left({n \over U_s}-{1 \over \varrho }\right). \end{displaymath}$

Egyszerű számolással könnyű bebizonyítani, hogy

$\begin{displaymath} \overline{m}\lambda \overline{T}=\overline{N}, \end{displaymath}$

ami ismét egy Little-formula. Ugyanis

$\begin{displaymath}\overline{m}\lambda\left( \overline{W} +{ 1 \over \mu} \right) = \overline{Q}+\overline{m}\varrho= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=n-{U_s \over \varrho}(1+\varrho)+U_s= n-{U_s\over \varrho} = \overline{N}\ .\end{displaymath}$

(IX.) További összefüggések:

$\begin{displaymath}U_s=1-P_0=n\varrho U_t=\overline{m}\varrho ,\end{displaymath}$

melyből

$\begin{displaymath} \overline{m}\lambda=\mu U_s=\lambda_t\ . \end{displaymath}$

Példák:

1. Tekintsünk

db. gépet

óra átlagos élettartammal, javítási idejük 4 óra átlagosan. Határozzuk meg a rendszer jellemzőit!

Megoldás: $\lambda = {1\over 40}$ óránként, $\mu = {1\over 4}$ óránként, $\rho={\lambda \over \mu} = {4 \over 40} = 0.1$ ,

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\ \hfil ...$

$\begin{displaymath}\overline{Q}=0.324\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P(W>0)=0.516=U_s\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{W}=2.51 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{T}=2.51+{1\over 0.25}=6.51 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_s=0.516\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{e}=40 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_g=0.86\qquad\hbox{ (g\'epkihaszn\'alts\'ag)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{m}=n\times U_g = 5.16\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{N}=6-5.16= 0.84\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}E\delta = {0.516 \over 6\times{1\over 40} \times 0.484}= {4\times 5.16 \over 6\times 0.484} \approx {7\over 10} \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

2. Az előző feladatban az átlagos élettartamot változtassuk meg

órára. Határozzuk meg a rendszer jellemzőit!

${\bold Megold\'as:}$ ${1\over \lambda}= 2$ , ${1\over \mu}= 4$ , ${\lambda \over \mu}=2$ ,

, $P_0={1\over 75973}$ amiből látható, hogy egy szerelő nem elégséges.

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\ \hfil ...$

$\begin{displaymath}U_s \approx 0.999 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{Q} \approx 4.5\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P{(W>0)}=0.999\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{W} \approx 22.5 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{T}=26.5 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{e} =2 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_g \approx 0.08\qquad\hbox{ (g\'epkihaszn\'alts\'ag)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{m}\approx 0.5\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{N}\approx 5.5\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}E\delta \approx \infty\end{displaymath}$

Mivel a karbantartási tényező -nél nagyobb, minden adat azt mutatja, amit vártunk. Arra, hogy ezek után mennyi szerelőt kell beállítani, többféle kritérium lehet. Ezzel a következő fejezetben foglalkozunk. Mindenesetre, hogy ne legyen torlódás, a ${\lambda \over r\mu}<1$ feltételnek kell teljesülnie, ahol a szerelők számát jelöli.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>