II.5.2. Az <n/M/M/r> modell

II.5.2. Az <n/M/M/r> modell

Az elõzõ modellben adott feltevéseinke<t most csupán annyiban változtatjuk, hogy az számú terminált szerver szolgálja ki . Így $k\leq r$ esetén a állapot azt jelenti, hogy éppen db terminál igénye van kiszolgálás alatt, egyetlen várakozó igény sincs és szerver tétlen. A szerverek tevékenységüket egymástól függetlenül végzik. Ekkor is egy születési-halálozási folyamatot kapunk:

$\begin{displaymath}\lambda_k=(n-k)\lambda, \qquad 0\leq k\leq n-1, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mu_k=\cases{k\mu&\hbox{, $1\leq k\leq r$,} \cr r\mu&\hbox{, $r< k\leq n$,}\cr } \end{displaymath}$

intenzitásokkal. Az egyensúlyi eloszlás:

$\begin{displaymath} \eqalign{ P_k &={n \choose k} \varrho ^kP_0,\qquad 0\leq k... ...r}} {n \choose k} \varrho ^kP_0,\qquad r< k \leq n. \cr } \end{displaymath}$

Természetesen teljesülnmie kell a

$\begin{displaymath} \sum_{k=0}^nP_k=1 \end{displaymath}$

összefüggésnek.

meghatározására ez a képlet túlságosan bonyolult, így egy egyszerûbb rekurzív formulát használunk. Jelöljük

-val a következõ hányadost:

$\begin{displaymath} a_k={P_k \over P_0}. \end{displaymath}$

Ekkor a következõ összefüggés alapján számolhatunk

$\begin{displaymath}a_0=1,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_k={n-k+1 \over k}\varrho a_{k-1}, \qquad 0\le k\le r-1, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_k={n-k+1 \over r}\varrho a_{k-1}, \qquad r\le k \le n. \end{displaymath}$

Mivel a

$\begin{displaymath} \sum_{k=0}^nP_k=1 \end{displaymath}$

összefüggésnek teljesülnie kell, ezért

$\begin{displaymath} P_0=1-\sum_{k=1}^nP_k. \end{displaymath}$

Mindkét oldalt

-al elosztva:

$\begin{displaymath} 1={1 \over P_0}-\sum_{k=1}^n{P_k \over P_0}={1 \over P_0}-\sum_{k=1}^na_k, \end{displaymath}$

így

$\begin{displaymath} P_0={1 \over 1+\sum\limits_{k=1}^na_k}. \end{displaymath}$

Majd

$\begin{displaymath} P_k=a_kP_0. \end{displaymath}$

Az n/M/M/r rendszer jellemzõi:

(I.) A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{N}=\sum_{k=0}^nkP_k. \end{displaymath}$

(II.) A várakozási sor átlagos hossza:

$\begin{displaymath} \overline{Q}=\sum_{k=r+1}^n(k-r)P_k={r^rP_0 \over r!}\sum_{k=r+1}^n{(k-r)k! \over r^k}{n \choose k} \varrho ^k. \end{displaymath}$

(III.) Az igénygenerálásra alkalmas terminálok átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{m}=n-\overline{N}. \end{displaymath}$

(IV.) A rendszer kihasználtsága:

$\begin{displaymath} U_r=1-P_0. \end{displaymath}$

(V.) A rendszer átlagos foglaltsági periódushossza:

$\begin{displaymath} E\delta^{(n)}={1-P_0 \over n\lambda P_0}={U_r \over n\lambda P_0}. \end{displaymath}$

(VI.) A várakozás valószínûsége:

$\begin{displaymath} P(W>0)=\sum_{k=r}^nP_k. \end{displaymath}$

(VII.) A foglalt kiszolgálóegységek átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{r}=\sum_{k=1}^rkP_k+\sum_{k=r+1}^nrP_k =\sum_{k=1}^{r-1}kP_k+r\sum_{k=r}^nP_k =\sum_{k=1}^{r-1}kP_k+rP(W>0). \end{displaymath}$

Továbbá

$\begin{displaymath} U_s={\displaystyle\sum_{k=1}^rkP_k+r\sum_{k=r+1}^nP_k \over r}={\overline{r} \over r}. \end{displaymath}$

(VIII.) A tétlen kiszolgálóegységek átlagos száma:

$\begin{displaymath} \overline{S}=r-\overline{r}. \end{displaymath}$

További összefüggés:

$\begin{displaymath} \overline{N}=\sum_{k=1}^{r}kP_k + \sum_{k=r+1}^n (k-r)P_k +... ...e{Q}+\overline{r}=\overline{Q}+r-\overline{S}=n-\overline{m}. \end{displaymath}$

(IX.) A terminálok kihasználtsága:

$\begin{displaymath} U_t=\sum_{k=1}^n{n-k \over n}P_k={\overline{m} \over n}. \end{displaymath}$

(X.) A terminálok átlagos várakozási ideje: (5) és (IX) alapján

$\begin{displaymath} U_t={{1 \over \lambda } \over {1 \over \lambda }+\overline{W}+{1 \over \mu }}= {\overline{m} \over n}, \end{displaymath}$

amibõl

$\begin{displaymath} \overline{W}={\overline{N} \over \overline{m}}{1 \over \lam... ...mu }\left({\overline{N} \over \overline{m}\varrho }-1\right). \end{displaymath}$

Az átlagos válaszolási idõ:

$\begin{displaymath} \overline{T}=\overline{W}+{1 \over \mu }={\overline{N} \over \overline{m}\lambda }, \end{displaymath}$

innen

$\begin{displaymath} \overline{m}\lambda \overline{T}=\overline{N}, \end{displaymath}$

ami a jól ismert Little-formula, azaz az átlagos beérkezési intenzitás és a rendszerben töltött átlagos idõ szorzata a rendszerben tartózkodó igények átlagos számával egyenlõ. Ebbõl

$\begin{displaymath} \overline{m}\la<mbda \left(\overline{W}+{1 \over \mu }\right)=\overline{Q}+\overline{r}, \end{displaymath}$

vagyis

$\begin{displaymath} \overline{m}\lambda \overline{W}+\overline{m}\varrho =\overline{Q}+\overline{r}. \end{displaymath}$

Mutassuk meg, hogy

$\begin{displaymath} \overline{r}=\overline{m} \varrho, \end{displaymath}$

mert ebbõl

$\begin{displaymath} \overline{m}\lambda\overline{W}=\overline{Q} \end{displaymath}$

következik, ami szintén egy Little-formula. Tudjuk, hogy

$\begin{displaymath} P_{k+1}={(n-k)\lambda \over \mu_{k+1}}P_k, \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath} \mu_j=\cases{ j\mu&\hbox{, $j\leq r,$}\cr r\mu&\hbox{, $j>r$}. \cr} \end{displaymath}$

Jól ismert továbbá, hogy

$\begin{displaymath} \overline{r} =\sum_{k=1}^{r-1}kP_k+r\sum_{k=r}^nP_k. \end{displaymath}$

Ekkor

$\begin{displaymath} \varrho\overline{m}=\sum_{k=0}^n\varrho (n-k)P_k= \sum_{k=0}^{r-1}\varrho (n-k)P_k+\sum_{k=r}^{n-1}\varrho(n-k)P_k=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\sum_{k=0}^{r-1}{\lambda (n-k)(k+1) \over (k+1)\mu}P_k+ r\sum_{k=r}^{n-1}{\lambda (n-k) \over r\mu }P_k=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\sum_{k=0}^{r-1}(k+1)P_{k+1}+r\sum_{k=r}^{n-1}P_{k+1} =\sum... ...}^nP_j= \sum_{j=1}^{r-1}jP_j+r\sum_{j=r}^n P_j=\overline{r}. \end{displaymath}$

Vagyis

$\begin{displaymath} \varrho\overline{m}=\overline{r}, \end{displaymath}$

más alakban

$\begin{displaymath} \lambda\overline{m}= \mu\overline{r}, \end{displaymath}$

azaz

$\begin{displaymath} \hbox{az \'atlagos be\'erkez\'esi intenzit\'as = az \'atlagos ki\'araml\'asi intenzit\'assal,} \end{displaymath}$

ami várható volt, mivel a rendszer egyensúlyi állapotban van. Ezért

$\begin{displaymath} \overline{W}={\overline{Q} \over \overline{m}\lambda }={\ov... ...}\lambda \varrho }= {\overline{Q} \over \mu \overline{r}}. \end{displaymath}$

(XI.) A kiszolgálók átlagos tétlenségi periódushossza:

Ha a tétlen kiszolgálók olyan sorrendben kezdik kiszolgálni az igényeket, mint amilyen sorrendben elõzõleg befejezték a foglaltsági periódusokat, akkor egy szerver tevékenységét a következõképpen írhatjuk le. Ha egy tétlenné vált szerver másik tétlen szervert talál a munkabefejezõdés pillanatában, akkor csak a -edik igény kiszolgálásával kezdõdik ismét a foglaltsági periódusa. Jelölje $\overline{e}$ a szerver átlagos üresjárati periódusa hosszát, $\overline{e}_j$ pedig a fenti állapotban az átlagos tétlenségi idõt. Nyilvánvalóan

$\begin{displaymath} \overline{e}_j={j \over \lambda }, \end{displaymath}$

$\overline{e}$ pedig a teljes várható érték tétele alapján

$\begin{displaymath} \overline{e}=\sum_{j=1}^r{P_{r-j} \over P(e)}{j \over \lambda }= {\overline{S} \over P(e)\lambda }, \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath} P(e)=\sum_{j=0}^{r-1}P_j=1-P(W>0), \end{displaymath}$

azaz annak valószínûsége, hogy van tétlen szerver.

(XII.) A szerverek átlagos foglaltsági periódushossza:

Mivel

$\begin{displaymath}U_s={E\delta \over \overline{e}+E\delta},\end{displaymath}$

így

$\begin{displaymath} E\delta={U_s \over 1-U_s}\overline{e}={{\overline{r} \over ... ...rline{r} \over P(e)\lambda }= {\overline{m} \over \mu P(e)}. \end{displaymath}$

Vagyis

$\begin{displaymath}E\delta={\overline{m} \over \mu P(e)}.\end{displaymath}$

Példák:

1. Egy üzemben

db gép üzemel, egyenként

óra átlagos élettartammal. A gép javításának várható értéke

óra. A szereléseket

fõs szerelõgárda végzi. Adjuk meg a rendszer jellemzõit, és hasonlítsuk össze õket a II.5.1.1. Példában szereplõ jellemzõkkel!

Megoldás:

$\begin{displaymath}\rho= {\lambda\over \mu}= {{1\over \mu}\over {1\over \lambda}}={5\over 50} ={1\over 10} =0.1 .\end{displaymath}$

A rekurzív összefüggéseket használva,

-rõl indítva a rekurziót, könnyen meghatározhatjuk az

értékeket, pl

$\begin{displaymath}a_0=1\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_1 = {20-0 \over 0+1}\times 0.1\times 1 = 2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_2 = {20-1 \over 1+1}\times 0.1\times 2 = 1.9\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_3 = {20-2 \over 2+1}\times 0.1\times 1.9 = 1.14\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a_4 = {20-3 \over 3}\times 0.1\times 1.14 = 0.646\end{displaymath}$

és így tovább. Tudjuk, hogy

$\begin{displaymath}P_0={1\over 1+\sum\limits_{k=1}^n a_k} = {1 \over 1+6.3394} = 0.13625. \end{displaymath}$

Innen

$\begin{displaymath}P_1=a_1\times P_0 = 2\times 0.13625 = 0.2775 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P_2=a_2\times P_0 = 1.9 \times 0.13625 = 0.2588 \hbox{ stb. } \end{displaymath}$

A következõ táblázat megadja a különbözõ állapotok valószínûségét.

, $\rho = 0.1$ -10pt

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\quad\hfil$ ...$

$\begin{displaymath}\overline{Q}=0.339\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{S}=1.213\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{N}=\overline{Q}+r -\overline{S} = 2.126\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P(W>0)= 0.3323\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P(e)= 0.6677\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{W} ={\overline{Q} \over \lambda(n-\overline{N})}=0.918 \hbox{ \'ora, kb. } 59 \hbox{ perc}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{m}=20-2.126=17.874\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_r=0.844\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}E\delta^{(n)}= {U_r\over{ n\lambda P_0}}={5\over 2}\times {0.844\over 0.136} \approx 15.5 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{r}=1.787\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}s=1.213\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_s={\overline{r}\over r}={1.787\over 3} = 0.595\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{e} = {\overline{s} \over {P(e)\lambda}}= {1.213\ove... ... 50}}}={50\times 1.213 \over 0.667} \approx 90.8 \hbox{ \'ora} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}E\delta= {\overline{r} \over {P(e)\lambda}}= {1.787 \over0.66... ...50}} = {50 \times 1.787\over 0.667} \approx 132.1 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}U_g={\overline{m} \over n}= {17.874 \over 20} \approx 0.893\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline{T} = \overline{W} +{1\over \mu}= 0.981+5 = 5.981 \hbox{ \'ora}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}K_1={\hbox{ v\'arakoz\'o g\'epek \'atlagos sz\'ama } \over \h... ...k sz\'ama}} = {\overline{Q}\over n} = {0.339\over 20} = 0.0169\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}K_2= {\hbox{ t\'etlen kezelõk sz\'ama } \over \hbox{ \uml oss... ... sz\'ama }} = {\overline{S}\over r}= {1.213 \over 3} = 0.404 \end{displaymath}$

Összëehasonlítva a II.5.1 1. Példában szereplõ jellemzõkkel, láthatjuk, hogy az egy szerelõre jutó gépek majdnem egyforma száma mellett (

ill. $6{2\over 3}$ ) a helyzet sokkal jobb

gép és

szerelõ esetében, ugyanis a hatékon<ysági vizsgálatok az alábbi adatokat szolgáltatták:

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\quad\hfil ...$

2. Az elõzõ példában $\rho = 0.1$ ,

volt. Tételezzük fel, hogy az idõegység az óra, a gépállás óránkénti költsége $18\,000$ Ft, míg a szerelõk óránkénti költsége

Ft. Mi lesz ebben ez esetben a szerelõk optimális száma, ha az átlagos veszteség minimalizálására törekszünk?

${\bold Megold\'as:}$ Látható, hogy az óránkénti átlagos költség

függvénye. A következõ táblázat megadja a stacionárius eloszlást

esetén (tapasztalatból tudjuk, hogy az

számra $3\le r \le 7$ ).

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\ \hfil$ ...$

A következõ táblázat az idõegységre jutó átlagos költségeket adja meg:

$\begin{displaymath} \vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\vrule\quad\hfil$ ...$

Látható, hogy az optimális szerelõszám ilyen költségtényezõk mellett . Ez a példa is mutatja, hogy rendszerek összehasonlítása többféleképpen értelmezhetõ. Az és példa jól szemlélteti ezen problémakört.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Elõzõ

Következõ >>