III.1.3. Az átmeneti valószínűségek és a sorhossz várható értéke
A következő fejezetekben a rendszerre jellemző mennyiségeket számoljuk
ki. Először is bevezetünk néhány jelölést, amelyekre
a későbbiekben szükségünk lesz.
a rendszerbe belépő
-edik igény;
a
igény beérkezési ideje;
, a
és
igények beérkezése közötti időtartam;
a
igény kiszolgálási ideje;
a
igény távozásakor hátrahagyott igények
száma;
a
igény kiszolgálása alatt a rendszerbe érkező
új igények száma.
az ú.n. beágyazott Markov-lánc, amelynek
egylépéses átmenetvalószínűségei:
Elsősorban a
eloszlását vizsgáljuk, vagyis a
valószínűségeket. Ezek függenek
az időtől, határeloszlásukat (ha
),
-val jelöljük. A
átmenetvalószínűségi
mátrix a következő alakú lesz:
ahol
. Az
-edik sor
-edik eleme annak a valószínűségét adja meg, hogy
ha
távozásakor
igényt hagyott maga után a rendszerben, akkor
távozásakor éppen
igény maradt a rendszerben. Ez éppen azt jelenti, hogy pontosan
új igény érkezett, amíg a
igény kiszolgálása tartott. Az
kiszámolásához vegyük figyelembe, hogy
a beérkezési folyamat független a rendszer állapotától.
A
igény, (
eloszlású),
kiszolgálási ideje pedig független az
-től, ezért
szintén független az
értékétől. Hagyjuk el tehát az
-et a jelölésünkből és vezessük be az
és
valószínűségi változókat.
és
. A teljes valószínűség
tétele alapján
melyet a feltételes valószínűségekkel kifejezve
ahol
, a kiszolgálási
idő sűrűségfüggvénye. Mivel a beérkezési folyamat
paraméterű Poisson-folyamat, ahol
az időváltozó, a következő átmenetvalószínűségeket
(
elemeit) kapjuk:
Figyelembe véve, hogy
minden
-ra, a
mátrix alakjából következik, hogy bármely
adott állapotból az összes többi elérhető, azaz a Markov-lánc
irreducibilis (és aperiodikus). A sorbanállási elmélet alapjainál
használt szokásos jelöléssel
ahol
a kiszolgálási idő hosszának várható
értéke. A Markov-lánc ergodikus, ha
. (A továbbiakban ezt feltételezzük.) Most
vizsgáljuk a
és
valószínűségi változók kapcsolatát
két speciális esetben. Az első annak felel meg, amikor
nem üres rendszert hagy maga után (azaz
). Ez azt jelenti, hogy a
távozásakor a
már a rendszerben van. Ekkor
nyilván megkapható, ha
-ből levonunk egyet (mivel
eltávozik) és hozzáadjuk azon igények számát,
melyek az
kiszolgálási időtartam alatt érkeztek be, azaz
-et. A második eset az, amikor
, azaz a távozó
igény üres rendszert hagy maga után, azaz
nem érkezett meg a
távozási időpontjáig. Így
éppen a
kiszolgálási ideje alatt a rendszerbe érkezett
igények számával egyenlő. Végeredményben azt kaptuk,
hogy
Vezessük be a
mennyiségeket. Ennek segítségével
Ebből az egyenletből határozzuk meg a
várható értékét. Először nem az időtől
függő viselkedéssel foglalkozunk, hanem a határeloszlással
(feltéve a létezését), azaz
-mal. Tegyük fel, hogy léteznek a
-edik momentumok is és
(Ismét az ergodikusságot használva.) Formális számolással
vegyük
mindkét oldalának várható értékét
és végezzük el az
határátmenetet.
Ebből
Tudjuk, hogy
a beérkezések átlagos száma
egy igény kiszolgálási ideje alatt.
bal oldala definíció szerint
Mivel egyetlen kiszolgáló csatornánk van,
A
kihasználtsági tényező pedig éppen a rendszer
foglaltságának valószínűségét adja meg, ezért
Így
alapján
Tehát az egy igény kiszolgálási ideje alatti beérkezések
számának várható értéke
. A stabilitáshoz megkövetelt
miatt a (6) egyenlethez szükséges, hogy az igényeknek
lassabban kell érkezniük, mint ahogyan a kiszolgálás történik.
négyzetre emelésével
Nyilvánvaló, hogy
és
, így
Mivel
független
-től, a két utolsó tag várható értékét
mint várható értékek szorzatát lehet felírni.
határátmenetet véve
-öt és
-ot kihasználva kifejezhetjük
-ot.
ahonnan
(7)-ben már csak ismeretlen. Ennek meghatározásához egy általános
módszert, a generátorfüggvények módszerét használjuk.
Legyen a
változó generátorfüggvénye.
Innen
felhasználásával
Legyen
a kiszolgálási idő sűrűségfüggvényének
Laplace-transzformáltja, vagyis
A következő hasznos összefüggést vehetjük észre
az előző két egyenlet között:
Mint ismert, a generátorfüggvény deriváltjainak a
helyen vett helyettesítési értékei, valamint
a Laplace-transzformált
helyen vett helyettesítési értékei a vizsgált
valószínűségi változó megfelelő momentumait adják
meg. A valószínűségi változó várható értékére
a felülvonással való jelölést használva, a következőket
írhatjuk:
-ból láthatóan
ahol
. Végezzük el a
helyettesítést. Ekkor
mivel
-nél
adódik. Ebből
-et és
-et felhasználva
amit már az előzőekből ismerünk. Most differenciáljuk még
egyszer
-t:
első deriváltját felhasználva a másodikra az
alábbi összefüggés adódik:
f
-et helyettesítve
A korábbiakból
A további momentumok is hasonlóan határozhatók meg. Térjünk
vissza
-hez és alkalmazzuk az előző összefüggést, adódik
Mivel
, ahol
a kiszolgálási idő szórásnégyzete,
más alakban:
Ez a keresett formula, ami az átlagos sorhosszat, azaz az
rendszerben tartózkodó igények számának
várható értékét adja meg ismert mennyiségek segítségével.
Ezt Pollaczek-Hincsin-féle (P-H) várható érték-formulának
nevezzük. A P-H várható érték-formula a
mennyiségekre, a távozási pillanatokban a rendszerben
tartózkodó igények számának várható értékére
ad egy kifejezést. De tudjuk, hogy aérkezési pillanatokban, sőt
bármelyik pillanatban is ez a várható érték. Az általában
használt jelölés szerint
jelenti ezt a mennyiséget. Vezessük be most
-t a sorbanálló igények számának várható
értékeként (ez nem tartalmazza a kiszolgálócsatornában
lévő igényt).
Innen
Bebizonyítunk egy általános eredményt, az első Little-formulát,
ami a beérkezési intenzitás, a rendszerben tartózkodó
igények számának várható értéke és az
igények rendszerbeli idejének várható értéke között
ad meg egy egyszerű összefüggést. Legyen
a
intervallum alatt beérkezett igények száma,
a
intervallum alatt a rendszerből kilépett igények száma.
-t feltéve nyilvánvalóan
. Jelölje a
intervallumban a beérkezési intenzitást
legyen a
pillanatig felgyűlt összes igényidő, pontosabban az az idő,
amit a
időtartam során az igények összesen eltöltöttek
a rendszerben. A
mennyiség legyen az egy igényre eső rendszerbeli
idő átlaga, a
intervallum összes igényét figyelembe véve.
Ezekből nyilván
Végül legyen
a rendszerben tartózkodó igények átlagos
száma a
intervallumban:
Az utolsó három egyenletből
Sorbanállási rendszerünkben (ergodikusság esetén) léteznek
az alábbi határértékek
Így (Little-formula)
Most levezetünk egy eredményt a rendszerben eltöltött átlagos
időre. Ha felhasználjuk a fenti Little-formulát,
-t, valamint
-at, és tudjuk, hogy
egy találomra választott időpontra is megadja a rendszerben
található igények számának várható értékét,
azaz
, akkor
Innen
Ez egy igény rendszerben eltöltött összidejének átlaga,
ami egyenlő az átlagos kiszolgálási időnek, valamint a sorbanállási
idő átlagának összegével, amit
-vel jelölünk. Így
vagy
ahol
, az új igény érkezésekor
a kiszolgálócsatornában található igény átlagos
hátralévő kiszolgálási ideje. Ezt megkaphatjuk a hátralévő
élettartamra vonatkozó képletünkből, ami
mivel itt
. Viszont ez hátralévő élettartam
esetén teljesül, hiszen élettartamról akkor beszélhetünk,
ha ,,létezik" az a bizonyos dolog, tehát már ,,él". ,,Kiszolgálási
terminológiánk" alapján ezt meg kell még szoroznunk annak
a valószínűségével, hogy van igény a kiszolgálócsatornában,
azaz van értelme hátralévő kiszolgálási időről beszélnünk.
Jelen esetben a rendszer foglaltságának valószínűsége
, tehát
Ha tekintjük a
hányadost, ami azt fejezi ki, hogy milyen
,,kényelmetlenséget" okoz a rendszer az igényeknek azzal, hogy
más igényekkel is osztozniuk kell a kiszolgálóegységeken,
a következőt kapjuk:
és hasonlóan
-et valamint
-öt és
-ot szintén P-H várható érték-formulának
nevezzük.