III.1.4. A rendszerbeli igények számának eloszlása


Ebben a szakaszban a $q_{n+1}=q_n-\Delta_{q_n}+v_{n+1}$ egyenlet további hatványozása és így a magasabb momentumok meghatározása helyett a $q_n$ határeloszlását keressük meg. Pontosabban az eloszlás generátorfüggvényét fogjuk meghatározni. Hátránya ugyan, hogy ebből néha nehéz meghatározni magát az eloszlást, viszont igen egyszerűen megkaphatjuk a $\tilde{q}$ eloszlásának összes momentumát, ha felhasználjuk a transzformáltak és deriváltjaik általános tulajdonságait. Elsőként számoljuk ki annak a valószínűségeloszlásnak a generátorfüggvényét, hogy hány igény található a rendszerben közvetlenül egy igény távozása után. Legyen

\begin{displaymath} Q_n\left(z\right):=\sum_{k=0}^\infty P\left(q_n=k\right)z^k. \end{displaymath}

A $\tilde{q}$ generátorfüggvénye:

\begin{displaymath} Q\left(z\right)=\lim_{n\to\infty}Q_n\left(z\right)=\sum_{k=... ...ty P\left(\tilde{q}=k\right)z^k=E\left(z^{\tilde{q}}\right). \end{displaymath}

$(4)$-ből adódik, hogy

\begin{displaymath} z^{q_{n+1}}=z^{q_n-\Delta_{q_n}+v_{n+1}}. \end{displaymath}

Vegyük ennek a várható értékét,

\begin{displaymath} E\left(z^{q_{n+1}}\right)=E\left(z^{q_n-\Delta_{q_n}+v_{n+1}}\right). \end{displaymath}

A bal oldal éppen $Q_{n+1}\left(z\right)$, a jobb oldal pedig felírható két tényező szorzatának várható értékeként, ugyanis $v_{n+1}$ és $q_n$ függetlenek:

\begin{displaymath} Q_{n+1}\left(z\right)=E\left(z^{q_n-\Delta_{q_n}}\right)E\left(z^{v_{n+1}}\right). \end{displaymath}

A második várható érték nem függ az $n+1$ indextől, így ezt elhagyhatjuk, legyen $V\left(z\right)=E\left(z^{\tilde{v}}\right)$, ekkor

\begin{displaymath} Q_{n+1}\left(z\right)=V\left(z\right)E\left(z^{q_n-\Delta_{q_n}}\right).\leqno(17) \end{displaymath}

Definíció szerint


\begin{displaymath} \eqalign{ E\left(z^{q_n-\Delta_{q_n}}\right)=&\sum_{k=0}^\... ...{Q_n\left(z\right)-P\left(q_n=0\right)\over z},\cr}\leqno(18) \end{displaymath}

$(17)$-be helyettesítve:

\begin{displaymath} Q_{n+1}\left(z\right)=V\left(z\right)\left(P\left(q_n=0\right)+{Q_n\left(z\right)-P\left(q_n=0\right)\over z}\right). \end{displaymath}

Korábbi feltételezésünkkel összhangban elvégezhetjük az $n\to\infty$ határátmenetet. Ezért

\begin{displaymath} Q\left(z\right)=V\left(z\right)\left(P\left(\tilde{q}=0\right)+{Q\left(z\right)-P\left(\tilde{q}=0\right)\over z}\right). \end{displaymath}

Vegyük figyelembe, hogy $P\left(\tilde{q}=0\right)=1-\varrho$, és oldjuk meg $Q\left(z\right)$-re az egyenletet! Mivel

\begin{displaymath} zQ\left(z\right)=zV\left(z\right)\left(1-\varrho\right)+Q\l... ...right)V\left(z\right)-V\left(z\right)\left(1-\varrho\right) , \end{displaymath}

ebből

\begin{displaymath} Q\left(z\right)={V\left(z\right)\left(1-\varrho\right)\left(z-1\right)\over z-V\left(z\right)}. \end{displaymath}

Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt is $-1$-vel és használjuk fel, hogy $V\left(z\right)=B^*\left(\lambda-\lambda z\right)$. Így

\begin{displaymath} Q\left(z\right)=B^*\left(\lambda-\lambda z\right){\left(1-\... ...t)\left(1-z\right)\over B^*\left(\lambda-\lambda z\right)-z}. \end{displaymath}

Ezt az egyenletet az első Pollaczek-Hincsin-féle transzformált-egyenletnek nevezzük.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>