III.3. Az <n/M/G/1/PS> rendszer
Egy olyan számítógépes rendszert tekintünk, amely egy
központi egységből és
periféria-egységből áll. Mindegyik program egy igénynek
felel meg, a központi egység a kiszolgáló egységeknek.
Tegyük fel, hogy egy adott perifériát csak egy program használhat,
és a periféria-egységben eltöltött időtartamok minden
programra nézve független, azonos
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi
változók. Miután a program bizonyos időt eltöltött
a periférián, átkerül a központi egységbe, és
itt azonnal megkezdődik a kiszolgálása, amelynek az időtartama
várható értékű,
eloszlásfüggvényű valószínűségi változó
. A központi egységben a programok
kiszolgálása Processor Sharing (PS)-elv szerint történik,
azaz hogyha a
időintervallumban egyidűleg
programot szolgálnak ki, akkor az egyes jobok kiszolgálási
ideje csak
-val halad előre. A programok kiszolgálásuk után
abba a perifériába kerülnek vissza, ahonnan érkeztek. Ebben
a modellben a segédváltozók módszerét fogjuk
alkalmazni a rendszert leíró sztochasztikus folyamat megadásánál.
Vezessük be a következő valószínűségi változókat:
: a
-edik időpillanatban a CPU-nál tartózkodó igények
száma,
: a
-edik időpillanatban a CPU-nál tartózkodó igények
eltelt kiszolgálási ideje
esetben. Látható, hogy az
sztochasztikus folyamat olyan Markov-folyamat, melynek állapotterét
egy diszkrét komponensből és több folytonos komponensből álló
vektorok alkotják. Az ilyen típusú folyamatokat szakaszonként
lineáris Markov-folyamatoknak nevezzük. Meg kell jegyeznünk,
hogy nagyon sok problémát ilyen folyamattal tudunk hűen leírni.
Részletes tanulmányozásra ajánljuk Gnedenko-Kovalenko (1989)-könyvét.
Legyen
azaz
,
annak a valószínűsége, hogy a központi
egységnél a
időpontban
job tartózkodik, és az egyes jobok kiszolgálásából
hosszúságú idő telt el. Legyen
megfelelően kicsi pozitív szám. Ekkor
- ra
a következő összefüggés írható
fel:
A jobb oldal első tagja azt írja le, hogy a
időintervallumban nem fejeződik be egyetlen kiszolgálás
sem. A második tag pedig azt, hogy ebben az időintervallumban a
egy program közül egy kiszolgálása fejeződik
be. Mindkét oldalt
-vel osztva, és
,
határértéket véve kapjuk, hogy
ahol
.
-ra és
-re hasonlóan kapjuk:
Ezek az egyenletek nem írják le teljesen a rendszer működését,
mivel nem veszik figyelembe az esetleges ugrásszerű átmeneteket azokban
a pillanatokban, amikor a programok a perifériákból a központi
egységbe kerülnek. A hiányzó egyenleteket hasonlóan kapjuk
meg:
A kapott integro-differenciál egyenletek megoldását közvetlen
helyettesítéssel nyerjük:
és
Legyen
annak a stacionárius valószínűsége, hogy tetszőleges
időpontban a központi egységben
program tartózkodik. Nyilvánvalóan
A
valószínűséget a
normalizáló feltételből kapjuk
meg.