III.2.3. A rendszer jellemzőinek meghatározása

III.2.3. A rendszer jellemzőinek meghatározása

6. Tétel. Az össztermelés várható időtartama a $\left(0,T\right)$ intervallumban stacionárius folyamat esetén

$\begin{displaymath}E\left\{\int\limits_0^T\eta\left(t\right)dt\right\}=T{m\sum\l... ...1+m\alpha\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\end{displaymath}$

Bizonyítás. Esetünkben

$\begin{displaymath}E\left\{\int\limits_0^T\eta\left(t\right)dt\right\}=\int\limits_0^TE\left\{\eta\left(t\right)\right\}dt,\end{displaymath}$

és $E\left\{\eta\left(t\right)\right\}=\sum\limits_{k=0}^m k\tilde{P}_k= \tilde{B}_1$ , ahol $\tilde{B}_1$ -ot $\left(13\right)$ adja. Behelyettesítés után megkapjuk az állítást. 1. Következmény. Jelölje

az átlagos összgépkihasználtságot, vagyis legyen

$\begin{displaymath}U_m=\lim_{T\to\infty}{E\left\{\int\limits_0^T\eta\left(t\right)dt\right\}\over T}.\end{displaymath}$

A 6. Tétel következményeként adódik, hogy egy gép kihasználtsága

$\begin{displaymath}U_m={\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}\over 1+m\alpha\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1} {m-1\choose j}{1\over C_j}}.\end{displaymath}$

7. Tétel. Jelölj $\xi _m\left(t\right)$ a következő valószínűségi változót

$\begin{displaymath}\xi_m\left(t\right)=\cases{1,& ha $\eta\left(t\right)<m,$\cr 0,& ha $\eta\left(t\right)=m.$\cr}\end{displaymath}$

Ekkor stacinárius folyamat esetén a szerelő $\left(0,T\right)$ időközben javítással töltött idejének várható értéke

$\begin{displaymath}E\left\{\int\limits_0^T\xi_m\left(t\right)dt\right\}=T{m\alph... ...1+m\alpha\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\end{displaymath}$

Bizonyítás. Fennáll, hogy

$\begin{displaymath}E\left\{\int\limits_0^T\xi_m\left(t\right)dt\right\} =\int\limits_0^TE\left\{\xi_m\left(t\right)\right\}dt.\end{displaymath}$

A $\xi _m\left(t\right)$ valószínűségi változó várható értéke a következőképpen határozható meg:

$\begin{displaymath}E\left\{\xi_m\left(t\right)\right\}=P\left\{\xi_m{\left(t\rig... ...1\right\} =P\left\{\eta\left(t\right)<m\right\}=1-\tilde{P}_m,\end{displaymath}$

ahol $\tilde{P}_m \left(19\right)$ alapján kiszámolható. Ezt beírva kapjuk az állítást. 2. Következmény. Jelölje $U_{sz}$ a ,,szerelő " kihasználtságát, amit a következőképpen definiálunk:

$\begin{displaymath}U_{sz}=\lim_{T\to\infty}{E\left\{\int\limits_0^T\xi_m\left(t\right)dt \right\}\over T}.\end{displaymath}$

A 7. Tétel következményeként adódik, hogy

$\begin{displaymath}U_{sz}=1-\tilde{P}_m.\end{displaymath}$

Jelölje $\zeta\left(t\right)$ a

időpontban meghibásodott gépnek a javítás megkezdéséig tartó várakozási idejét. Ez megfelel annak az időnek, ameddig a szerelő elvégzi a

pillanatban álló gépek javítását, feltéve, hogy közben nem áll be a várakozók sorába. Legyen $[x]^+=\cases{x,& ha $x>0$,\cr 0,& ha $x\le 0$\cr}$ . Ekkor fennáll, hogy

$\begin{displaymath}\zeta\left(t\right)=\chi\left(t\right)+\sum_{i=1}^{{\left[m-1-\eta\left (t\right)\right]}^{+}}\chi_i,\leqno(29)\end{displaymath}$

ahol $\chi\left(t\right)$ az eddigi jelölésnek megfelelően a

pillanatban (esetleg) folyamatban lévő javítás befejezéséhez szükséges időt jelenti, $\chi_1,\chi_2,\ldots$

eloszlásfüggvényű független valószínűségi változók, melyek $\eta\left(t\right)$ -től és $\chi\left(t\right)$ -től is függetlenek. $\zeta\left(t\right)$ -t szokás virtuális várakozási időnek is nevezni. A várakozási idő eloszlásfüggvénye stacionáris esetben $\zeta\left(t\right)$ előbbi alakjának felhasználásával

$\begin{displaymath}P\left\{\zeta\left(t\right)\le x\right\}=\sum_{k=0}^m \tilde{H}_k\left(x\right)F_{m-1-k}\left(x\right),\leqno(30)\end{displaymath}$

ahol $F_n\left(x\right)$ jelöli az

eloszlásfüggvénynek önmagával vett

-szeres konvolucióját ( $F_0\left(x\right)=1$ , ha

és $F_0\left(x\right)=0$ , ha $x\ge 0$ ). 8. Tétel. Ha $\sigma^2$ véges, akkor a várakozási idő várható értéke

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\right\}={m\alpha\mu\over m\alpha\... ...2\alpha} +\left(m-1\right)\alpha-{1-P_{m-1}\over \mu}\right\}.\end{displaymath}$

Bizonyítás. Mivel a folyamat stacionárius, ezért

$\begin{displaymath}P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}=\tilde{P}_k\end{displaymath}$

bármely

-re. Az 5. Tétel felhasználásával kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}E\left\{\chi\left(t\right)\ \vert\ \eta\left(t\right)<m\right... ...[1-F\left(x\right)\right]dx= {\sigma^2+\alpha^2\over 2\alpha}.\end{displaymath}$

Ekkor

$\begin{displaymath}E\left\{\chi\left(t\right)\right\}={\sigma^2+\alpha^2\over 2\alpha}\sum_{k=0}^{m-1}\tilde{P}_k.\end{displaymath}$

Mivel $E\left\{\chi_i\right\}=\alpha$ , $\left(i=1,2,\ldots\right)$ és $\chi_i$ -k függetlenek,

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\right\}=\sum_{k=0}^{m-1}\tilde{P}... ...igma^2+\alpha^2\over 2\alpha} +\left(m-1-k\right)\alpha\right]\end{displaymath}$

adódik. A 3. Tétel alapján érvényesek a következő egyenlőségek

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}\tilde{P}_k=1-\tilde{P}_m={m\alpha\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}},\end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\tilde{P}_k=\sum_{k=0}^mk\tilde{P}_k-m\tilde... ...tilde{P}_m= {m\left(1-P_{m-1}\right)\over m\alpha\mu+P_{m-1}}.\end{displaymath}$

Behelyettesítés után kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\right\}=\sum_{k=0}^{m-1}{m\alpha\... ...sigma^2+\alpha^2 \over 2\alpha}+\left(m-1\right)\alpha\right]+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\sum_{k=0}^{m-1}{m\alpha\left(1-P_{m-1}\right)\over m\alpha... ...}=\sum_{k=0}^{m-1} {m\alpha\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}} \times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[{\sigma^2+\alpha^2\over 2\alpha}+\left(m-1\right)\alpha +{1-P_{m-1}\over \mu}\right],\end{displaymath}$

ezzel a tételt bebizonyítottuk. 9. Tétel. Jelentse

azt az eseményt, hogy a

pillanatban történik leállás. A várakozási idő eloszlásfüggvénye

feltétel mellett

$\begin{displaymath}P\left\{\zeta\left(t\right)\le x\ \vert\ A_t\right\}={\mu\sum... ...x\right) \over \mu\sum\limits_{k=0}^m k\tilde{P}_k},\leqno(31)\end{displaymath}$

a várakozási idő várható értéke

feltétel mellett (amit az aktuális várakozási idő várható értékének is szoktak nevezni)

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\ \vert\ A_t\right\}=\left(m-1\right)\alpha-{1-P_{m-1}\over \mu}.\leqno(32)\end{displaymath}$

Bizonyítás. A várakozási idő eloszlásfüggvénye $\left(30\right)$ szerint

$\begin{displaymath}P\left\{\zeta\left(t\right)\le x\right\}=\sum_{k=0}^m P\left... ...ht)\le x,\eta\left(t\right)=k\right\}F_{m-1-k} \left(x\right).\end{displaymath}$

Könnyű látni, hogy

$\begin{displaymath}P\left\{\zeta\left(t\right)\le x ,\ A_t\right\}=\sum_{k=0}^m... ...le x,\eta\left(t\right)=k\right\}k\mu F_{m-1-k}\left(x\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\mu\sum_{k=0}^m k\tilde{H}_k\left(x\right)F_{m-1-k}(x).\end{displaymath}$

A feltételes valószínűség definíciója szerint

$\begin{displaymath}P\left\{\zeta\left(t\right)\le x\ \vert\ A_t\right\}={P\left... ...\right)\le x,A_t\right\}\over P\left\{A_t\right\}}.\leq'no(33)\end{displaymath}$

Mivel $P\left\{A_t\right\}=\sum\limits_{k=0}^m k\mu \tilde{P}_k$ , így $\left(33\right)$ -ból következik $\left(31\right)$ . A feltételes várható értéket a következőképpen határozhatjuk meg. $\left(31\right)$ miatt nyilvánvalóan fennáll

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\ \vert\ A_t\right\}={\sum\limits... ...t)\alpha\right]\over\sum\limits_{k=0}^mk\tilde{P}_k}.\leqno(34)\end{displaymath}$

Mivel teljesül a

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\int\limits_0^\infty xd\tilde{H}_k\left(x\r... ...\limits_0^\infty xd\sum_{k=0}^{m-1} k\tilde{H}_k\left(x\right)\end{displaymath}$

egyenlőség, a jobb oldal kiszámításhoz szükségünk van $\sum\limits_{k=0}^{m-1}k\tilde{H}_k\left(x\right)$ meghatározására. Erre érvényes

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\tilde{H}_k\left(x\right)=\tilde{L}\left(x\r... ..._{m-1}}=\tilde{L}\left(x\right) \sum_{k=0}^{m-1}k\tilde{P}_k ,\end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath}\tilde{L}\left(x\right)={\int\limits_0^\infty e^{-\mu x}\lef... ...nt\limits_0^\infty e^{-\mu x}\left[1-F\left(u\right)\right]du}.\end{displaymath}$

A 3. tétel szerint

$\begin{displaymath}k\tilde{P}_k={1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu}P_{k-1},\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m\right),\end{displaymath}$

ezért összegükre teljesül

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^mk\tilde{P}_k={1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu}.\end{displaymath}$

Ekkor

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\tilde{P}_k=\sum_{k=0}^mk\tilde{P}_k-m\tilde{P}_m= {1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu} \left[1-P_{m-1}\right].\end{displaymath}$

Mindezek figyelembevételével adódik, hogy

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\int\limits_0^\infty xd\tilde{H}_k\left(x\r... ...}k\tilde{P}_k\int\limits_0^\infty xd\tilde{L} \left(x\right)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu}\left[1-P_{m-1}\right]\left[{\alpha\over 1-\varphi\left(\mu\right)}-{1\over \mu}\right].\end{displaymath}$

Folytassuk a feltételes várható érték képletében szereplő mennyiségek kiszámítását. Látható, hogy

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k\left(m-1\right)\alpha \tilde{P}_k=\left(m-... ...ht)\alpha{1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu}\left[1-P_{m-1}\right], \end{displaymath}$

valamint

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}k^2\alpha \tilde{P}_k=\alpha\sum_{k=0}^{m-1}k \left[{1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu} P_{k-1}\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={1-\tilde{P}_m\over \mu}\sum_{k=0}^{m-1}\left[\left(k-1\right)P_{k-1}+P_{k-1}\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={1-\tilde{P}_m\over \mu}\left[\sum_{k=0}^{m-2}kP_k+\sum_{k=0}^{m-2}P_k\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\alpha {1-\tilde{P}_m\over \alpha\mu}\left[{\varphi\left(\mu... ...ft(1-P_{m-1}\right)- \left(m-1\right)P_{m-1}+1-P_{m-1}\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\alpha{1-\tilde{P}_m\over\alpha\mu}\left[{1-P_{m-1}\over 1-\varphi(\mu)}-(m-1) P_{m-1}\right].\end{displaymath}$

A megfelelő tagokat

-be visszahelyettesítve rövid számolás után kapjuk az állítást. Ugyanis a nevező

$\begin{displaymath}{1-\tilde{P}_m\over\alpha\mu} ,\end{displaymath}$

amivel a számláló minden tagja osztható. Ekkor

$\begin{displaymath}E\left\{\zeta\left(t\right)\ \vert\ A_t\right\}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\left(1-P_{m-1}\right)\left[{\alpha\over 1-\varphi\left(\mu... ...pha\left[ {1-P_{m-1}\over 1-\varphi(\mu)}-(m-1)P_{m-1}\right]+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\left(m-1\right)\alpha\left(1-P_{m-1}\right)= \left(m-1\right)\alpha-{1-P_{m-1}\over\mu},\end{displaymath}$

a tételt ezzel bebizonyítottuk. Vezessük le ezt az összefüggést más eszközökkel is. Az előzőekhez hasonlóan belátható, hogy

$\begin{displaymath} U_m={\tilde{B}_1\over m}={{1\over\mu}\over{1\over\mu}+\bar{W}+\alpha} , \end{displaymath}$

ahol $\bar{W}$ egy gép aktuális átlagos várakozási ideje. Mivel

$\begin{displaymath} P_{m-1}={1\over\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over c_j}} , \end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath} \tilde{B}_1={{m\over P_{m-1}}\over 1+{m\alpha\mu\over P_{m-1}}}={m\over P_{m-1}+ m\alpha\mu} , \end{displaymath}$

ezért

$\begin{displaymath} {1\over P_{m-1}+m\alpha\mu}={{1\over\mu}\over {1\over\mu}+\bar{W}+\alpha}. \end{displaymath}$

Ebből

$\begin{displaymath} \bar{W}=(m-1)\alpha-{1-P_{m-1}\over\mu}. \end{displaymath}$

A modell tovább általánosítható oly módon, hogy a gépek meghibásodási intenzitása és a kiszolgálási idő függ a gép indexétől. Ez az $<m/\vec{M}/ \vec{G}/1/FIFO>$ rendszer, amellyel Sztrik (1981, 1983), Sztrik-Tomkó (1982) foglalkozik.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>