III.2.2. Stacionárius folyamat

III.2.2. Stacionárius folyamat

4. Tétel. Ha $\alpha$ véges, akkor tetszõleges $x\ge 0$ esetén létezik a

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}P\left\{\chi\left(t\right)\le x\ \vert\ \et... ...tilde{F}_k\left(x\right),\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m\right)\end{displaymath}$

határeloszlás, és fennáll

$\begin{displaymath}\tilde{F}_k\left(x\right)={k\mu\over P_{m-1}}\left[{j+1\choos... ...y e^{-k\mu u} {\left(1-e^{-\mu u}\right)}^{j+1-k}\times\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left.\left[F\left(u+x\right)-F\left(u\right)\right]du+{m-1\choose k}P_{m-1}\right.\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left.\int\limits_0^\infty e^{-k\mu u}{\left(1-e^{-\mu ... ...m-1-k}\left[F\left(u+x\right)-F\left(u\right)\right]du\right] ,\end{displaymath}$

ha $k=0,1,\ldots,m-1$ és $\tilde{F}_m=1$ . Bizonyítás. Vizsgáljuk elõször a

$\begin{displaymath}\tilde{H}_k\left(x\right)=\lim_{t\to\infty}P\left\{\chi\left(... ...a\left(t\right)=k\right\},\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m\right)\end{displaymath}$

együttes eloszlásfüggvényt. A $P\left\{\chi\left(t\right)\le x,\eta\left(t\right)=k\right\}$ valószínûséget a következõ alakba írhatjuk fel:

$\begin{displaymath}P\left\{\chi\left(t\right)\le x,\eta\left(t\right)=k\right\}... ...ght)-q_j \left(t+x\right)\right]{j\choose k} e^{-k\mu x}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times{\left(1-e^{-\mu x}\right)}^{j-k}+ \sum_{j=k-1}^{m-2}{j+1\choose k}\int\limits_0^\infty e^{-k\mu\left(t-u\right)}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times{\left(1-e^{-\mu\left(t-u\right) }\right)}^{j+1-k}\lef... ...x\right)-F\left(t-u\ri<ght)\right]d\tilde{M}_j \left(u\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+{m-1\choose k}\int\limits_0^\infty e^{-k\mu\left(t-u\right)}{\left(1-e^{-\mu\left(t-u\right)}\right)}^{m-1-k} \times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[ F\left(t-u+x\right)-F\left(t-u\right)\right]dN_m\left(u\right) ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(k=0,1,\ldots,m-1). \end{displaymath}$

Az egyenlõség igazolása $\left(20\right)$ bizonyításához hasonlóan történik. Határértéket képezve adódik, hogy

$\begin{displaymath}\tilde{H}_k\left(x\right)={m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\lef... ...y e^{-k\mu u}{\left(1-e^{-\mu u}\right)}^{j+1-k} \times\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left.\left[F\left(u+x\right)-F\left(u\right)\right]du+{m-1\choose k}P_{m-1}\right.\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\times\int\limits_0^\infty e^{-k\mu u}{\left(1-e^{-\mu ... ...m-1-k}\left[F\left(u+x\right) -F\left(u\right)\right]du\right],\end{displaymath}$

miközben felhasználtuk az $\tilde{N}_m=\tilde{M}_{m-1}$ és az

$\begin{displaymath}\tilde{M}_j={m\mu P_j\over m\alpha\mu+P_{m-1}},\ \ \ \ \ \left(j=0,1,\ldots,m-1\right)\end{displaymath}$

egyenlõségeket. $\tilde{F}_k\left(x\right)$ -re a következõ összefüggés írható fel

$\begin{displaymath}\tilde{F}_k\left(x\right)=\lim_{t\to\infty}\left\{\chi\left(t... ...\right) =k\right\}\over P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}}.\end{displaymath}$

Ismerve a $\left\{\lim\limits_{t\to\infty}P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}\right\} =\left\{\tilde{P}_k\right\}$ és a $\left\{P_k\right\}$ eloszlások közötti $\left(25\right)$ összefüggést, következik a tétel állítása. Definíció. Az általunk vizsgált folyamatot stacionáriusnak nevezzük, ha a folyamat kezdeti eloszlását a $P\left\{\eta\left(0\right)=k\right\}=\tilde{P}_k$ és $P\left\{\chi\left(0\right)\le x\ \vert\ \eta\left(0\right)=k\right\}=\tilde{F}_k \left(x\right)$ , $\left(k=0,1,\ldots,m\right)$ valószínûségek adják. Ekkor az $\left\{\eta\left(t\right),\chi\left(t\right)\right\}$ változópár eloszlása minden idõpontban megegyezik a kezdeti eloszlással és

$\begin{displaymath}\tilde{M}_k\left(t\right)={m\mu P_k\over m\alpha\mu+P_{m-1}}t\end{displaymath}$

valamint

$\begin{displaymath}\tilde{N}_k\left(t\right)={m\mu P_{k-1}\over m\alpha\mu+P_{m-1}}t,\end{displaymath}$

ahol $\tilde{M}_k\left(t\right)$ és $\tilde{N}_k\left(t\right)$ az eddigi jelölésnek megfelelõen a $\left(0,t\right)$ -ben elõforduló $k\to {k+1}$ ill. $k\to {k-1}$ átmenetek várható száma. Most néhány állítást bizonyítunk be a stacionárius folyamatra.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Elõzõ

Következõ >>