III.2.1.2. A {Pk} valószínűségeloszlás meghatározása

III.2.1.2. A $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ valószínűségeloszlás meghatározása

2. Tétel. Ha $\alpha<\infty$ , akkor az $\eta\left(0\right)$ valószínűségi változó kezdeti eloszlásától függetlenül létezik a $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ határeloszlás és fennáll:

$\begin{displaymath}\tilde{P}_k=\sum_{r=k}^m\left(-1\right)^{r-k}{r\choose k}\tilde{B}_r,\leqno(12)\end{displaymath}$

ahol $\tilde{B}_r$ a $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ valószínűségeloszlás

-edik binomiális momentuma, melyre teljesül $\tilde{B}_0=1$ és $r=1,2,\ldots,m$ -re

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r={mC_{r-1}\over r}{\sum\limits_{j=r-1}^{m-1}{m-1\c... ...\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}, \leqno(13)\end{displaymath}$

ahol

jelentése változatlan. Néhány segédtételre lesz szükségünk a bizonyításhoz. 1. Segédtétel. Jelölje $\tilde{M}\left(t\right)$ a $\left(0,t\right)$ időközben előforduló ${m-1}\to m$ átmenetek várható számát. Tetszőleges

-re fennáll:

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{\tilde{M}\left(t+h\right)-\tilde{M}\left(t... ... \sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\leqno(14)\end{displaymath}$

A segédtétel a következőképpen igazolható. Tekintsük az $\left\{\eta_n\right\}$ Markov-láncnál az

állapotot. Az

visszatérő állapot és a visszatérésig megtett lépések számának várható értéke $1/p_{m-1}$ . Két egymást követő ${m-1}\to m$ átmenet között eltelt időtartam a ,,szerelő" szempontjából egy szünetből és egy javítási periódusból tevődik össze. A szünet hosszának várható értéke $1/m\mu$ , a javítási periódus hosszának várható értéke $\alpha/P_{m-1}$ , ahol $\alpha$ egy javítás átlagos időtartama, az egy javítási periódusban végzett javítások várható száma $1/P_{m-1}$ . Az egymást követő ${m-1}\to m$ átmenetek között eltelt időtartamok egyforma eloszlású független valószínűségi változók, közös várható értékük a fentiek szerint a $P_{m-1}=B_{m-1}$ egyenlőség figyelembe vételével

$\begin{displaymath}{1\over m\mu}+{\alpha\over P_{m-1}}={1\over m\mu}\left[1+m\alpha\mu \sum_{j=0}^{m-1} {m-1\choose j}{1\over C_j}\right].\end{displaymath}$

$\left(14\right)$ bal oldala viszont egyenlő ennek a várható értéknek a reciprok értékével. D. Blackwell tétele - az I. fejezetbben említett

Tétel - alapján létezik a következő határérték, és fennáll, hogy

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{\tilde{M}\left(t+h\right)-\tilde{M}\left(t\right)\over h}={m\mu P_{m-1}\over m\alpha\mu+P_{m-1}},\end{displaymath}$

ami megegyezik $\left(14\right)$ -gyel. 2. Segédtétel. Jelölje $M\left(t\right)$ a $\left(0,t\right)$ időközben előforduló $\tau_n$ időpontok várható számát, azaz a $\left(0,t\right)$ időközben befejeződő javítások várható számát. Tetszőleges

-ra fennáll, hogy

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{M\left(t+h\right)-M\left(t\right)\over h}... ...mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\leqno(15)\end{displaymath}$

A segédtétel bizonyítását egy jelölés bevezetésével kezdjük. Jelölje $M_n\left(t\right)$ a $\left(0,t\right)$ időközben befejeződő olyan javítások várható számát, amelyek egy javítási periódus

-edik javítását követik. Ekkor $M\left(t\right)$ a következő alakba írható:

$\begin{displaymath}M\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty M_n\left(t\right).\leqno(16)\end{displaymath}$

Az egymást követő javítási periódusok

-edik javításának befejeződési időpontjai közötti időtartamok egyforma eloszlású, független valószínűségi változók. Blackwell már említett tétele miatt létezik a

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{M_n\left(t+h\right)-M_n\left(t\right)\over h}\end{displaymath}$

határérték, ami megegyezik a

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{M_n\left(t\right)\over t}\end{displaymath}$

határértékkel, ez viszont könnyen kiszámolható. Jelölje ugyanis

annak a valószínűségét, hogy egy javítási periódus legalább

javításból áll. Ekkor felírható, hogy

$\begin{displaymath}Q_n\tilde{M}\left(t\right)\le M_n\left(t\right)\le Q_n\left[\tilde{M}\left(t\right)+1\right]. \end{displaymath}$

Felhasználva az

Segédtételt, azt kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{M_n\left(t\right)\over t}=Q_n\lim_{t\to\i... ...(t\right)\over t}= Q_n{m\mu P_{m-1}\over m\alpha\mu +P_{m-1}}.\end{displaymath}$

Egy javítási periódusban végzett javítások várható száma

$\begin{displaymath}\sum\limits_{n=1}^\infty Q_n={1\over P_{m-1}},\end{displaymath}$

tehát $\left(16\right)$ szerint

$\begin{displaymath}\lim_{t\to \infty}{M\left(t+h\right)-M\left(t\right)\over h}... ...nfty {M_n\left(t+h\right)-M_n\left(t\right)\over h}=\leqno(17)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={m\mu\over m\alpha\mu +P_{m-1}}.\end{displaymath}$

Ebben a kifejezésben a határérték tagonként vehető, mert a sor egyenletesen konvergens, ugyanis az

$\begin{displaymath}\tilde{M}\left(t+h\right)-\tilde{M}\left(t\right)\le1+\tilde{M}\left(h\right)\end{displaymath}$

egyenlőség felhasználásával

$\begin{displaymath}{M_n\left(t+h\right)-M_n\left(t\right)\over h}\le {Q_n\left(... ...M}\left(t+h\right)+1\right)-Q_n\tilde{M}\left(t\right)\over h}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=Q_n{\tilde{M}\left(t+h\right)-\tilde{M}\left(t\right)+1\over h}\le Q_n{2+\tilde{M}\left(h\right)\over h}\end{displaymath}$

adódik. A $\left(17\right)$ egyenlőségbe $P_{m-1}$ értékét beírva megkapjuk a segédtétel állítását. 3. Segédtétel. Jelölje $\tilde{M}_k\left(t\right),\ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right)$ a $\left(0,t\right)$ intervallumban előforduló $k\to {k+1}$ átmenetek várható számát. Tetszőleges

esetén fennáll, hogy

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{\tilde{M}_k\left(t+h\right)-\tilde{M}_k\left(t\right)\over h}={m\mu P_k\over m\alpha\mu+P_{m-1}}.\leqno(18)\end{displaymath}$

Ezt az állítást

-re már bebizonyítottuk az 1. Segédtételben. A $\left(18\right)$ baloldalán álló határérték létezését D. Blackwell tétele bizonyítja, ugyanis az egymást követő $k\to {k+1}$ átmenetek közötti időtartamok egyforma eloszlású, független változók, eloszlásuk eleget tesz az említett tételek feltételeinek. A $\left(18\right)$ határérték megegyezik a $\lim\limits_{t\to\infty}{\tilde{M}_k\left(t\right)\over t}$ határértékkel, ami nyilván

-szorosa a $\lim\limits_{t\to\infty}{M\left(t\right)\over t}$ határértéknek, vagyis

-szorosa $\left(14\right)$ -nek. Rátérünk a tétel bizonyítására, vagyis a $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ eloszlás meghatározására. Ha

, akkor

$\begin{displaymath}P\left\{\eta\left(t\right)=m\right\}=\int\limits_0^t e^{-m\mu \left(t-x\right)}d\tilde{M}\left(x\right),\end{displaymath}$

és $\left(14\right)$ miatt $\tilde{P}_m$ létezése bizonyítható. Ekkor

$\begin{displaymath}\tilde{P}_m={1\over m\mu}\lim_{t\to\infty}{\tilde{M}\left(t+... ... \sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\leqno(19)\end{displaymath}$

Jelölje $N_m\left(t\right)$ a $\left(0,t\right)$ időközben előforduló $m\to {m-1}$ átmenetek várható számát. Ekkor igaz az

$\begin{displaymath} N_m\left(t+h\right)=N_m\left(t\right)+P\left\{\eta\left(t\right)=m\right\}m\mu h+o\left(h\right)\end{displaymath}$

egyenlőség, amiből

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{d\over dt}N_m\left(t\right)=m\mu \tilde{P}_m\end{displaymath}$

következik. $k=0,1,\ldots,m-1$ esetén a $P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}$ valószínűség a következő formában írható fel:

$\begin{displaymath}P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}=\sum_{j=k}^{m-1}q_j\left... ...hoose k}e^{-k\mu t}{\left(1-e^{-\mu t}\right)}^{j-k}+\leqno(20)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\delta_{k,m}\left[P\left\{\eta\left(0\right)=m\right\}e^{-m\... ...left(t-u\right)}\right)d\tilde{M}_{m-1} \left(u\right)\right]+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\sum_{j=k-1}^{m-2}{j+1'\choose k}\int\limits_0^t e^{-k\mu\l... ...ight)}{\left(1-e^{-\mu\left(t-u\right)}\right)} ^{j+1-k}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[1-F\left(t-u\right)\right]d\tilde{M}_j\left(u\right)+{m-1\choose k}\int\limits_0^t e^{-k\mu\left(t-u\right)}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times{\left(1-e^{-\mu\left(t-u\right)}\right)}^{m-1-k} \left[1-F\left(t-u\right)\right]dN_m\left(u\right),\end{displaymath}$

ahol $q_j\left(t\right)$ annak a valószínűsége, hogy a rendszer kezdő állapota

volt és a

intervallumban nem fejeződött be kiszolgálás. A $\delta_{k,m}$ jelentése pedig: $\delta_{k,m}=\cases{1&, ha $k=m$,\cr 0&, ha $k\ne m$.\cr}$ A $P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}$ valószínűség előző felírása következőképpen indokolható: az $\eta\left(t\right)=k$ esemény több egymást kizáró eseményból tevődik össze a) a kezdő állapot $j,\ \left(j=k,k=1,\ldots,m-1\right)$ és a $\left(0,t\right)$ intervallumban nem fejeződik be javítás, s ez idő alatt leáll $\left(j-k\right)$ gép, b) az

időpillanatban $\left(0\le u\le t\right)$ történik egy $j\to {j+1}$ átmenet $\left(j=k-1,k,\ldots,m-2\right)$ , az $\left(u,t\right]$ intervallumban nem fejeződik be kiszolgálás és leáll

gép, c) az

időpontban $\left(0\le u\le t\right)$ történik egy $m\to {m-1}$ átmenet, az $\left(u,t\right]$ intervallumban nem fejeződik be javítás és leáll

gép. Vezessük be a következő jelöléseket:

$\begin{displaymath}\tilde{M}_j=\lim_{t\to\infty}{\tilde{M}_j\left(t+h\right)-\tilde{M}_j\left(t\right)\over h},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(j=0,1,\ldots,m-1\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\tilde{N}_m=\lim_{t\to\infty}{N_m\left(t+h\right)-N_m\left(t\right)\over h}.\end{displaymath}$

Ezek a határértékek Blackwell tétele miatt tetszőleges

esetén léteznek. Ekkor $\left(20\right)$ alapján

$\begin{displaymath}\tilde{P}_k=\lim_{t\to\infty}P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}=\leqno(21)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\sum_{j=k-1}^{m-2}\tilde{p}_{jk} \tilde{M}_j+\tilde{p}_{m-1,k}\tilde{N}_m+{\delta_{k,m}\tilde{M}_{m-1}\over m\mu},\end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath}\tilde{p}_{jk}={j+1\choose k}\int\limits_0^\infty e^{-k\mu x}... ...1-e^{-\mu x} \right)}^{j+1-k}\left[1-F\left(x\right)\right]dx,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(j=0,1,...,m-2\right) ,\end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath}\tilde{p}_{m-1,k}=\tilde{p}_{m-2,k} .\end{displaymath}$

Határozzuk meg a $\left(21\right)$ egyenlet $\sum\limits_{k=0}^m\tilde{P}_k=1$ feltételnek eleget tevő megoldásait! Ha

, akkor $\left(21\right)$ -ből azonnal következik, hogy

$\begin{displaymath}\tilde{P}_m={\tilde{M}_{m-1}\over m\mu}={P_{m-1}\over m\alpha... ... \alpha\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}} .\end{displaymath}$

Vezessük be az

$\begin{displaymath}\tilde{U}\left(z\right)=\sum_{k=0}^m\tilde{P}_kz^k\end{displaymath}$

generátorfüggvényt. Ekkor

$\begin{displaymath}\tilde{U}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{m-1}\left(\sum_{j=k-1}^{m... ...m-1,k}\tilde{N}_mz^k+ {\tilde{M}_{m-1}\over m\mu}= \leqno(22)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\sum_{k=0}^{m-1}\Biggl(\sum_{j=k-1}^{m-2}{j+1\choose k}\int\... ...-\mu x}\right)}^{j+1-k}\left[1-F\left(x\right)\right] dx\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times{m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\Biggr) z^k+\sum_{k=0}^{... ...0^\infty e^{-k\mu x}{\left(1-e^{-\mu x}\right)} ^{m-1-k}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[1-F\left(x\right)\right]dx{m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}z^k+{P_{m-1}\over m\alpha\mu +P_{m-1}}z^m=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\left[\sum_{k=0}^{m-2}\int\lim... ...{-\mu x}\right)}^{k+1}\left[1-F\left(x\right)\right]dx+\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.+\int\limits_0^\infty P_{m-1}{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\... ...eft[1-F\left(x\right)\right]dx +{P_{m-1}\over m\mu}z^m\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\left[\int\limits_0^\infty\su... ...0}^{m-1}\left(1-e^{-\mu x}+ ze^{-\mu x}\right)P_k\right.\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left.{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)}^k\left[1-F\left(x\right)\right]dx+\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.+\int\limits_0^\infty\left\{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu... ...}{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x} \right)}^{m-1}+\right.\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\left.+\left(e^{-\mu x}-ze^{-\mu x}\right)P_{m-1}{\left(1-e^{--\mu x}+ze^{-\mu x}\right)}^{m-1}\times\right.\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\left.\times\left[1-F\left(x\right)\right]^{}\right\}dx+{P_{m-1}^{} \over m\mu}z^m\right] =\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={m\mu\over m\alpha\mu +P_{m-1}}\left[\int\limits_0^\infty\le... ... x}\right)U \left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)\right.\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\times\left[1-F\left(x\right)\right]dx+\left(1-z\right)P_{m-1}\times\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\times\int\limits_0^\infty e^{-\mu x}{\left(1-e^{-\mu ... ...left[1-F\left(x\right)\right]dx+{P_{m-1}\over m\mu}z^m\right] ,\end{displaymath}$

ahol $U\left(z\right)$ a $\left(6\right)$ -os generátorfüggvény. Vezessük be a $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ valószínűségeloszlás

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r=\sum_{k=r}^m{k\choose r}\tilde{P}_k,\ \ \ \ r=1,\ldots,m-1 \end{displaymath}$

binomiális momentumait. Látható, hogy $\left(9\right)$ -hez hasonlóan

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r={1\over r!}{\left({d^r\tilde{U}\left(z\right)\over dz^r}\right)}_{z=1}, \leqno(23)\end{displaymath}$

és $\left(22\right)$

-szeres differenciálásával a

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r={m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\left[B_r+B_{r-1}-{m-1\choose r-1}B_{m-1}\right]\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[\int\limits_0^\infty e^{-r\mu x}\left[1-F\left(x\right)\right]dx+{1\over m\mu}{m\choose r}P_{m-1}\right]\end{displaymath}$

összefüggéshez jutunk.

$\begin{displaymath}\int\limits_0^\infty e^{-r\mu x}\left[1-F\left(x\right)\right]dx={1-\varepsilon_r\over\mu r}\end{displaymath}$

figyelembevételével és $\left(10\right)$ felhasználásával a következő egyenletet írhatjuk fel:

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r={m\mu\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\left[{1-\varepsilo... ...ilon_r}B_r +{1\over m\mu}{m\choose r}P_{m-1}\right],\leqno(24)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(r=1,2,\ldots,m-1\right)\end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath}\tilde{B}_0=1 .\end{displaymath}$

Írjuk be a $\left(24\right)$ -es egyenletbe $P_{m-1}$ és

értékét! Ekkor

$\begin{displaymath}\tilde{B}_r={m\mu\over m\mu\alpha+{1\over \sum\limits_{j=0}^{... ...ver \sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}+\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\left.{1\over m\mu}{m\choose r}{1\over \sum\limits_{j=0}^{m... ...a\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}} \times \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\left[{C_{r-1}\over r\mu}\sum_{j=r}^{m-1}{m-1\choose j}... ... C_j}+ {C_{r-1}\over m\mu}{m\choose r}{1\over C_{r-1}}\right]=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={m\mu\over 1+m\alpha\mu\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}... ...j}+ {C_{r-1}\over r} {m-1\choose r-1}{1\over C_{r-1}}\right] ,\end{displaymath}$

ami megegyezik $\left(13\right)$ -mal. A $\tilde{P}_k \left(12\right)$ -beli alakját $\left(23\right)$ -ból megkapjuk, ha a $\left(23\right)$ egyenletek mindkét oldalát ${\left(-1\right)}^{r-k}{r\choose k}$ -val megszorozzuk és az így kapott egyenleteket összeadjuk. Ezzel a tételt bizonyítását befejeztük. 3. Tétel. A $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ és a $\left\{P_k\right\}$ valószínűségeloszlás a következő kapcsolatban áll egymással:

$\begin{displaymath}\tilde{P}_k={mP_{k-1}\over k\left[m\alpha\mu+P_{m-1}\right]},\ \ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots,m\right),\leqno(25)\end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath}\tilde{P}_0=1-{m\over m\alpha\mu+P_{m-1}}\sum_{k=1}^m{P_{k-1}\over k}.\leqno(26)\end{displaymath}$

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy az adott idő alatt előforduló ${k-1}\to {k}$ és $k\to {k-1}$ átmenetek száma legfeljebb

-gyel különbözhet egymástól. Ez természetesen a várható értékükre is fennáll. Ha $N_k\left(t\right)$ jelöli a $\left(0,t\right)$ időközben előforduló $k\to {k-1}$ átmenetek várható számát, akkor

$\begin{displaymath}\vert \tilde{M}_{k-1}\left(t\right)-N_k\left(t\right)\vert\le 1.\end{displaymath}$

$N_k\left(t\right)$ -re fennáll

$\begin{displaymath} N_k\left(t+h\right)=N_k\left(t\right)+P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}k\mu h+o\left(h\right).\end{displaymath}$

Így

$\begin{displaymath}{dN_k\left(t\right)\over dt}=k\mu P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{dN_k\left(t\right)\over dt}=\lim_{t\to\infty}{N_k\left(t\right)\over t}=k\mu \tilde{P}_k.\leqno(27)\end{displaymath}$

A 3. Segédtétel szerint

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{\tilde{M}_{k-1}\left(t\right)\over tt}={m\mu P_{k-1}\over m\alpha\mu+P_{m-1}}.\leqno(28)\end{displaymath}$

Mivel $\left(27\right)$ és $\left(28\right)$ a fenti egyenlőtlenség miatt megegyezik, ezért $k=1,2,\ldots,m$ -re megkaptuk $\tilde{P}_k$ $\left(25\right)$ -beli alakját. A $\sum\limits_{k=0}^m\tilde{P}_k=1$ egyenlőség fennállása miatt $\tilde{P}_0=1-\sum\limits_{k=1}^m \tilde{P}_k$ , ami megegyezik $\left(26\right)$ -tal.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>