III.2.1.2. A
valószínűségeloszlás meghatározása
2. Tétel. Ha
, akkor az
valószínűségi változó kezdeti
eloszlásától függetlenül létezik a
határeloszlás és fennáll:
ahol
a
valószínűségeloszlás
-edik binomiális momentuma, melyre teljesül
és
-re
ahol
jelentése változatlan. Néhány segédtételre
lesz szükségünk a bizonyításhoz. 1. Segédtétel.
Jelölje
a
időközben előforduló
átmenetek várható számát. Tetszőleges
-re fennáll:
A segédtétel a következőképpen igazolható. Tekintsük
az
Markov-láncnál az
állapotot. Az
visszatérő állapot és a visszatérésig
megtett lépések számának várható értéke
. Két egymást követő
átmenet között eltelt időtartam a ,,szerelő"
szempontjából egy szünetből és egy javítási periódusból
tevődik össze. A szünet hosszának várható értéke
, a javítási periódus hosszának várható
értéke
, ahol
egy javítás átlagos időtartama, az egy javítási
periódusban végzett javítások várható száma
. Az egymást követő
átmenetek között eltelt időtartamok egyforma
eloszlású független valószínűségi változók,
közös várható értékük a fentiek szerint a
egyenlőség figyelembe vételével
bal oldala viszont egyenlő ennek a várható
értéknek a reciprok értékével. D. Blackwell tétele
- az I. fejezetbben említett
Tétel - alapján létezik a következő határérték,
és fennáll, hogy
ami megegyezik
-gyel. 2. Segédtétel. Jelölje
a
időközben előforduló
időpontok várható számát, azaz a
időközben befejeződő javítások várható
számát. Tetszőleges
-ra fennáll, hogy
A segédtétel bizonyítását egy jelölés bevezetésével
kezdjük. Jelölje
a
időközben befejeződő olyan javítások
várható számát, amelyek egy javítási periódus
-edik javítását követik. Ekkor
a következő alakba írható:
Az egymást követő javítási periódusok
-edik javításának befejeződési időpontjai közötti
időtartamok egyforma eloszlású, független valószínűségi
változók. Blackwell már említett tétele miatt létezik
a
határérték, ami megegyezik a
határértékkel, ez viszont könnyen kiszámolható.
Jelölje ugyanis
annak a valószínűségét, hogy egy javítási
periódus legalább
javításból áll. Ekkor felírható, hogy
Felhasználva az
Segédtételt, azt kapjuk, hogy
Egy javítási periódusban végzett javítások várható
száma
tehát
szerint
Ebben a kifejezésben a határérték tagonként vehető, mert
a sor egyenletesen konvergens, ugyanis az
egyenlőség felhasználásával
adódik. A
egyenlőségbe
értékét beírva megkapjuk a segédtétel
állítását. 3. Segédtétel. Jelölje
a
intervallumban előforduló
átmenetek várható számát. Tetszőleges
esetén fennáll, hogy
Ezt az állítást
-re már bebizonyítottuk az 1. Segédtételben.
A
baloldalán álló határérték
létezését D. Blackwell tétele bizonyítja, ugyanis az
egymást követő
átmenetek közötti időtartamok egyforma eloszlású,
független változók, eloszlásuk eleget tesz az említett
tételek feltételeinek. A
határérték megegyezik a
határértékkel,
ami nyilván
-szorosa a
határértéknek,
vagyis
-szorosa
-nek. Rátérünk a tétel bizonyítására,
vagyis a
eloszlás meghatározására.
Ha
, akkor
és
miatt
létezése bizonyítható. Ekkor
Jelölje
a
időközben előforduló
átmenetek várható számát. Ekkor
igaz az
egyenlőség, amiből
következik.
esetén a
valószínűség a következő
formában írható fel:
ahol
annak a valószínűsége, hogy a rendszer
kezdő állapota
volt és a
intervallumban nem fejeződött be kiszolgálás. A
jelentése pedig:
A
valószínűség előző
felírása következőképpen indokolható: az
esemény több egymást kizáró
eseményból tevődik össze a) a kezdő állapot
és a
intervallumban nem fejeződik be javítás,
s ez idő alatt leáll
gép, b) az
időpillanatban
történik egy
átmenet
, az
intervallumban nem fejeződik be kiszolgálás
és leáll
gép, c) az
időpontban
történik egy
átmenet, az
intervallumban nem fejeződik be javítás és
leáll
gép. Vezessük be a következő jelöléseket:
Ezek a határértékek Blackwell tétele miatt tetszőleges
esetén léteznek. Ekkor
alapján
ahol
és
Határozzuk meg a
egyenlet
feltételnek eleget tevő megoldásait!
Ha
, akkor
-ből azonnal következik, hogy
Vezessük be az
generátorfüggvényt. Ekkor
ahol
a
-os generátorfüggvény. Vezessük be
a
valószínűségeloszlás
binomiális momentumait. Látható, hogy
-hez hasonlóan
és
-szeres differenciálásával a
összefüggéshez jutunk.
figyelembevételével és
felhasználásával a következő egyenletet írhatjuk fel:
és
Írjuk be a
-es egyenletbe
és
értékét! Ekkor
ami megegyezik
-mal. A
-beli alakját
-ból megkapjuk, ha a
egyenletek mindkét oldalát
-val megszorozzuk és az így kapott egyenleteket összeadjuk.
Ezzel a tételt bizonyítását befejeztük. 3. Tétel.
A
és a
valószínűségeloszlás a következő
kapcsolatban áll egymással:
és
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy az adott idő alatt előforduló
és
átmenetek száma legfeljebb
-gyel különbözhet egymástól. Ez természetesen
a várható értékükre is fennáll. Ha
jelöli a
időközben előforduló
átmenetek várható számát, akkor
-re fennáll
Így
A 3. Segédtétel szerint
Mivel
és
a fenti egyenlőtlenség miatt megegyezik, ezért
-re megkaptuk
-beli alakját. A
egyenlőség fennállása
miatt
, ami megegyezik
-tal.