III.2.1. A határeloszlások meghatározása
III.2.1.1 A
valószínűségeloszlás meghatározása
1. Tétel.
Az
változó kezdeti eloszlásától
függetlenül létezik a
határeloszlás és fennáll
ahol
ahol
és
-re
Bizonyítás. Látható, hogy az
valószínűségi változók sorozata
Markov-láncot alkot
átmenetvalószínűségekkel, ahol
-re
és
Ezt a következőkkel indokolhatjuk: az
esemény azt jelenti, hogy
-ben befejeződik egy javítás, így
-ben a rendszer
állapotban van, feltéve, hogy a
pillanatban nem romlott el gép. Ahhoz, hogy a rendszer
állapotba kerüljön az szükséges, hogy a
időintervallumban pontosan
gép álljon le. A leálló gépek kiválasztása
-féleképpen történhet. Az
Markov-lánc ergodikus, mert az állapottér
elemeinek száma véges. Emiatt az
valószínűségi változó kezdeti eloszlásától
függetlenül léteznek a
határvalószínűségşek, melyek a
egyenletrendszer
feltételnek eleget tevő megoldásai. A
és
egyenletrendszer megoldására vezessük
be az
generátorfüggvényt. Ekkor
a következő alakra hozható:
Vezessük be most a
határeloszlás
binomiális momentumait. Definíció szerint
miatt
és
-ből
-szeres differenciálással kapjuk, hogy
Legyen
Ekkor
a következő alakban írható:
ugyanis
A
-es egyenletrendszer a
ismeretlenekre nézve egy változó együtthatós
lineáris differenciaegyenletrendszer. Az
jelölések segítségével az egyenletrendszer
alakba írható át. Legyen
, ahol
és
.
A
jelölés
mellett
Ez alapján
-re a következő összefüggés írható
fel:
Ekkor
A
egyenletrendszer megoldása tehát
ahol
és
Ha
, akkor
ennek felhasználásával
A
valószínűségek kifejezhetők a
binomiális momentumokkal a
-as képlet segítségével. Szorozzuk
meg a
-as egyenletek mindkét oldalát
-val, és az így kapott egyenleteket
adjuk össze. Azt kapjuk, hogy
ezzel az állítást bebizonyítottuk.