III.2.1. A határeloszlások meghatározása

III.2.1. A határeloszlások meghatározása

III.2.1.1 A valószínűségeloszlás meghatározása

1. Tétel.

Az $\eta\left(0\right)$ változó kezdeti eloszlásától függetlenül létezik a $\left\{P_k\right\}$ határeloszlás és fennáll

$\begin{displaymath}P_k=\sum_{r=k}^{m-1} \left(-1\right)^{r-k}{r\choose k}B_r,\leqno(1) \end{displaymath}$

ahol

$\begin{displaymath}B_r=C_r{\sum\limits_{j=r}^{m-1}{{m-1}\choose j}{1\over C_j}\... ...sum\limits_{j=0}^{m-1} {{m-1}\choose j}{1\over C_j}} ,\leqno(2)\end{displaymath}$

ahol

és $r=1,2,\ldots,m-1$ -re

$\begin{displaymath}C_r=\prod_{i=1}^r{\varphi\left(i\mu\right)\over 1-\varphi\left(i\mu\right)}.\leqno\left(3\right)\end{displaymath}$

Bizonyítás. Látható, hogy az $\left\{\eta_n\right\},\ \left(n=1,2,\ldots\right)$ valószínűségi változók sorozata Markov-láncot alkot

$\begin{displaymath}P\left\{\eta_{n+1}=k\ \vert\ \eta_n=j\right\}=p_{jk}\end{displaymath}$

átmenetvalószínűségekkel, ahol $j=0,1,\ldots,m-2$ -re

$\begin{displaymath}p_{jk}={{j+1}\choose k}\int\limits_o^\infty e^{-k\mu x}{\left(1-e^{-\mu x}\right)}^{j+1-k} dF\left(x\right),\end{displaymath}$

és

$\begin{displaymath}p_{m-1,k}=p_{m-2,k}\ .\end{displaymath}$

Ezt a következőkkel indokolhatjuk: az $\left\{\eta_n=j\right\}$ esemény azt jelenti, hogy $\tau_n$ -ben befejeződik egy javítás, így $\tau_n$ -ben a rendszer

állapotban van, feltéve, hogy a $\tau_n$ pillanatban nem romlott el gép. Ahhoz, hogy a rendszer

állapotba kerüljön az szükséges, hogy a $\left[\tau_n,\tau_{n+1}\right]$ időintervallumban pontosan

gép álljon le. A leálló gépek kiválasztása $j+1\choose k$ -féleképpen történhet. Az $\left\{\eta_n\right\}$ Markov-lánc ergodikus, mert az állapottér elemeinek száma véges. Emiatt az $\eta_1$ valószínűségi változó kezdeti eloszlásától függetlenül léteznek a

$\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty}P\left\{\eta_n=k\right\}=P_k,\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right)\end{displaymath}$

határvalószínűségşek, melyek a

$\begin{displaymath}P_k=\sum_{j=k-1}^{m-1}p_{jk}P_j,\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right)\leqno\left(4\right)\end{displaymath}$

egyenletrendszer

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{m-1}P_k=1\leqno\left(5\right)\end{displaymath}$

feltételnek eleget tevő megoldásai. A $\left(4\right)$ és $\left(5\right)$ egyenletrendszer megoldására vezessük be az

$\begin{displaymath}U\left(z\right)=\sum_{k=0}^{m-1}P_kz^k\leqno\left(6\right)\end{displaymath}$

generátorfüggvényt. Ekkor $U\left(z\right)$ a következő alakra hozható:

$\begin{displaymath}U\left(z\right)=\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{j=k-1}^{m-2}p_{jk}P_jz^k+\sum_{k=0}^{m-1} p_{m-1,k}P_{m-1}z^k= \leqno\left(7\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{j=k-1}^{m-2}{j+1\choose k}\int\limits_... ...\left(1-e^{-\mu x}\right)}^{j+1-k}dF\left(x\right)\cdot P_jz^k+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\sum_{k=0}^{m-1}{m-1\choose k}\int\limits_0^\infty e^{-k\mu ... ...t(1-e^{-\mu x}\right)}^{m-1-k}dF\left(x\right)\cdot P_{m-1}z^k=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\sum_{k=0}^{m-2}P_k\int\limits_0^\infty{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x} \right)}^{k+1}dF\left(x\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+P_{m-1}\int\limits_0^\infty{\left(1-e^{-\mu x}+z e^{-\mu x}\right)}^{m-1}dF\left(x\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\int\limits_0^\infty\sum_{k=0}^{m-2}\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-... ... P_k{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)}^kdF\left(x\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\int\limits_0^\infty\left\{\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)P_{m-1} {\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)}^{m-1}\right.+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\left.\left(e^{-\mu x}-ze^{-\mu x}\right)P_{m-1}{\left(1-e^{-\mu x}+ ze^{-\mu x}\right)}^{m-1}\right\}dF\left(x\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\int\limits_0^\infty\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)U\left(1-e^{-\mu x}+ ze^{-\mu x}\right)dF\left(x\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\left(1-z\right)P_{m-1}\int\limits_0^ \infty e^{-\mu x} {\left(1-e^{-\mu x}+ze^{-\mu x}\right)}^{m-1}dF\left(x\right).\end{displaymath}$

Vezessük be most a $\left\{P_k\right\}$ határeloszlás

$\begin{displaymath}B_r=\sum_{k=r}^{m-1}{k\choose r}P_k \leqno\left(8\right)\end{displaymath}$

binomiális momentumait. Definíció szerint

$\begin{displaymath}B_r={1\over r!}{\left({d^rU\left(z\right)\over dz^r}\right)}_{z=1} .\leqno\left(9\right)\end{displaymath}$

$\left(5\right)$ miatt

és $\left(7\right)$ -ből

-szeres differenciálással kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}B_r=\left[B_r+B_{r-1}-{m-1\choose r-1}P_{m-1}\right]\int\limits_0^\infty e^{-r\mu x}dF\left(x\right),\leqno(10)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(r=1,2,\ldots,m-1\right).\end{displaymath}$

Legyen

$\begin{displaymath}\varepsilon_r=\varphi\left(r\mu\right)=\int\limits_0^\infty e^{-r\mu x}dF\left(x\right) .\end{displaymath}$

Ekkor $\left(10\right)$ a következő alakban írható:

$\begin{displaymath}B_r={\varepsilon_r\over 1-\varepsilon_r}B_{r-1}-{m-1\choose r... ..._r\over 1-\varepsilon_r}B_{m-1},\ \ \ r=1,\ldots,m-1 \leqno(11)\end{displaymath}$

ugyanis

$\begin{displaymath}P_{m-1}=B_{m-1}.\end{displaymath}$

A $\left(11\right)$ -es egyenletrendszer a $\left\{B_r\right\}$ ismeretlenekre nézve egy változó együtthatós lineáris differenciaegyenletrendszer. Az

$\begin{displaymath}f\left(r+1\right)=B_r ,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}p\left(r\right)={\varepsilon_r\over 1-\varepsilon_r}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}V_r= {m-1\choose r-1}{\varepsilon_r\over 1-\varepsilon_r}B_{m-1} \end{displaymath}$

jelölések segítségével az egyenletrendszer

$\begin{displaymath}f\left(r+1\right)-p\left(r\right)f\left(r\right)=V\left(r\right)\ \ \ \ \left(r\ge 0 \hbox{ eg\'esz sz\'am}\right)\end{displaymath}$

alakba írható át. Legyen $u\left(r\right)={f\left(r\right)\over y\left(r\right)}$ , ahol $y\left(0\right)=1$ és $y\left(r\right)=p\left(0\right)\cdot p\left(1\right)\cdots p\left(r-1\right)$ . A $\Delta u\left(r\right)=u\left(r+1\right)-u\left(r\right)$ jelölés mellett

$\begin{displaymath}\Delta u\left(r\right)={f\left(r+1\right)\over p\left(0\right... ...ver p\left(r\right)}={V\left(r\right)\over y\left(r+1\right)}.\end{displaymath}$

Ez alapján $u\left(r\right)$ -re a következő összefüggés írható fel:

$\begin{displaymath}u\left(r\right)=u\left(0\right)+\sum_{j=1}^r {V\left(j\right)\over y\left(r+1\right)}.\end{displaymath}$

Ekkor

$\begin{displaymath}f\left(r\right)=y\left(r\right)\left[f\left(0\right)+ \sum_{j=0}^r{V\left(j\right)\over y\left(r+1\right)}\right].\end{displaymath}$

A $\left(11\right)$ egyenletrendszer megoldása tehát

$\begin{displaymath}B_r=C_r\left[1-B_{m-1}\sum_{j=0}^{r-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}\righet],\end{displaymath}$

ahol

és

$\begin{displaymath}C_r={\varepsilon_1\over 1-\varepsilon_1}\cdot{\varepsilon_2\over 1-\varepsilon_2}\cdots{\varepsilon_r\over 1-\varepsilon_r}.\end{displaymath}$

, akkor

$\begin{displaymath}B_{m-1}={1\over \sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}},\end{displaymath}$

ennek felhasználásával

$\begin{displaymath}B_r=C_r{\sum\limits_{j=r}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}\over \sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}{1\over C_j}}.\end{displaymath}$

valószínűségek kifejezhetők a

binomiális momentumokkal a $\left(8\right)$ -as képlet segítségével. Szorozzuk meg a $\left(8\right)$ -as egyenletek mindkét oldalát $\left(-1\right)^{r-k}{r\choose k}$ -val, és az így kapott egyenleteket adjuk össze. Azt kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}P_k=\sum_{r=k}^{m-1}\left(-1\right)^{r-k}{r\choose k}B_r ,\end{displaymath}$

ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>