III.2. Az <m/M/G/1> rendszer


Ebben a részben Takács Lajos (1957, 1962) nevezetes modelljét ismertetjük, amikor a gépek működési idejei egymástól független $\mu$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, az egyes javítási idők pedig egymástól független, ugyanazon $F\left(x\right)$ eloszlásfüggvényű valószínűségi változók, $\alpha$ várható értékkel és $\sigma^2$ szórásnégyzettel. $\varphi\left(s\right)$ jelölje az $F$ Laplace-Stieltjes transzformáltját. Az $\eta\left(t\right)$ valószínűségi változó jelölje a $t$ időpontban egyidejűleg működő gépek számát. Ha $\eta\left(t\right)=k$, $\left(k=0,1,\ldots,m\right)$ akkor azt mondjuk, hogy a rendszer $k$ állapotban van. Jelölje rendre $\tau_1,\tau_2\ldots$ azokat az időpontokat, amikor a ,,szerelő " befejez egy javítást, és legyen $\eta\left(\tau_n-0\right)=\eta_n$. Legyen továbbá

\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}P\left\{\eta\left(t\right)=k\right\}=\tilde{P}_k ,\ \ \ \ \ (k=0,1,\ldots,m)\end{displaymath}

és

\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}P\left\{\eta_n=k\right\}=P_k ,\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right).\end{displaymath}

Jelölje a $\chi\left(t\right)$ valószínűségi változó a $t$ időpontban (esetleg) folyamatban lévő javításnál a $t$ időponttól a javítás befejezéséig tartó időtartamok hosszát. Legyen

\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}P\left\{\chi\left(t\right)\le x\ \vert\ \et... ...e{F}_k\left(x\right) ,\ \ \ \ \ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right).\end{displaymath}

Az $\left\{\eta\left(t\right),\chi\left(t\right)\right\}$ változópár Markov-folyamat. Látni fogjuk, hogy a kezdeti eloszlásoktól függetlenül léteznek az $\left\{\eta\left(t\right),\chi\left(t\right)\right\}$ változók $t\to\infty$-re vett eloszlásai. Ezek szerint definiálhatjuk a stacionárius folyamat fogalmát a következőképpen: feltesszük, hogy $\eta\left(0\right)$ eloszlása $\tilde{P}_k$ és $\chi\left(0\right)$ eloszlásfüggvénye $\eta\left(0\right)=k,\ \left(k=0,1,\ldots,m-1\right)$ feltétel mellett $\tilde{F}_k\left(x\right)$. A következőkben megadjuk a $\left\{P_k\right\}$ és $\left\{\tilde{P}_k\right\}$ valószínűségeloszlás explicit alakját, továbbá stacionárius esetre a várakozási idő eloszlásfüggvényét és várható értékét.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>