III.2. Az <m/M/G/1> rendszer
Ebben a részben Takács Lajos (1957, 1962) nevezetes modelljét ismertetjük,
amikor a gépek működési idejei egymástól független
paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi
változók, az egyes javítási idők pedig egymástól
független, ugyanazon
eloszlásfüggvényű valószínűségi
változók,
várható értékkel és
szórásnégyzettel.
jelölje az
Laplace-Stieltjes transzformáltját. Az
valószínűségi változó jelölje
a
időpontban egyidejűleg működő gépek számát. Ha
,
akkor azt mondjuk, hogy a rendszer
állapotban van. Jelölje rendre
azokat az időpontokat, amikor a ,,szerelő " befejez
egy javítást, és legyen
. Legyen továbbá
és
Jelölje a
valószínűségi változó a
időpontban (esetleg) folyamatban lévő javításnál
a
időponttól a javítás befejezéséig tartó
időtartamok hosszát. Legyen
Az
változópár
Markov-folyamat. Látni fogjuk, hogy a kezdeti eloszlásoktól függetlenül
léteznek az
változók
-re vett eloszlásai. Ezek szerint definiálhatjuk
a stacionárius folyamat fogalmát a következőképpen: feltesszük,
hogy
eloszlása
és
eloszlásfüggvénye
feltétel mellett
. A következőkben megadjuk a
és
valószínűségeloszlás
explicit alakját, továbbá stacionárius esetre a várakozási
idő eloszlásfüggvényét és várható értékét.