III.1.7. A Takács-féle integrodifferenciál-egyenlet
Ebben a fejezetben az
munkahátralékot vizsgáljuk meg kissé
közelebbről. Korábban megállapítottuk, hogy az
folytonos idejű, folytonos állapotterű, az igények
beérkezési pillanataiban diszkrét ugrásokat tartalmazó
Markov-folyamat. Most az
eloszlásfüggvényére vezetünk
le egy összefüggést, a
pillanatban adott kezdeti érték mellett. Legyen
azaz annak a valószínűsége, hogy a
időpontban érkező ,,virtuális" igény
ideig tartózkodik a rendszerben, ha tudjuk,
hogy
.
-re szeretnénk egy kifejezést kapni
és
segítségével. Az
esemény a
pillanatbeli állapotból úgy valósulhat meg, ha
vagy a
pillanatban a munkahátralék nem nagyobb
-nél és nem érkezik igény
a
időközben, aminek a valószínűsége az elemi
sorbanállási elméletből jól ismert:
;
vagy egyetlen beérkezés fordul elő a
intervallumban -- ennek valószínűsége
-- úgy, hogy az ez által
hozott munka és a
pillanatbeli munkahátralék összege nem haladja meg
-t. Az
valószínűségét így
írhatjuk fel:
Annak a valószínűsége pedig, hogy a kiszolgálási idő
nem nagyobb, mint
, éppen
. Mivel egy igény kiszolgálási ideje független
a munkahátraléktól, annak a valószínűsége, hogy
az új igény munkaszükségletével együtt sem haladja
meg az
a
-t, szorzatként írható
alakban. A teljes valószínűség tétele alapján felírhatjuk,
hogy
Az eloszlásfüggvényt az első változója szerint sorbafejtve
(csak a lineáris tagot véve)
Használjuk ezt fel
-ben:
Ezen egyenletnek ki kell elégítenie a következő feltételeket:
Most mindkét oldalból vonjunk ki
-t, osszunk
-vel és képezzük a
határátmenetet. Így kapjuk az
eloszlásfüggvényére vonatkozó
Takács-féle integrodifferenciál-egyenletet:
Takács ezt az összefüggést inhomogén Poisson-folyamatra
(
) is levezette. Ekkor majdnem minden
és
-ra fennáll az egyenlet.*Csak azon
és
értékekre nem áll fenn, melyekre
nem létezik, például
-ban. A Takács-féle integrodifferenciál-egyenletből
több információt is levezethetünk. Vegyük a
-nek az első változóX,
szerinti Laplace- Stieltjes transzformáltját:
A Függelék alapján
és hasonlóan
Mivel a munkahátralék és a kiszolgálási idő nemnegatív
valószínűségi változók,
. Az integrodifferenciál-egyenlet
integrált tartalmazó tagjában a
és
konvolúciója szerepel,
ennek a transzformáltja pedig a transzformáltak szorzata. Még a
tag szorul magyarázatra. A
transzformáltja
, de ez magában foglalja az
tagot is, viszont a Takács-féle integrodifferenciál-egyenlet
ezt nem tartalmazza (
-ra nincs értelme), ezért kivonjuk
-ből. Ezek alapján kaptuk tehát a
-ot. Ha az
-t a második változó szerint is transzformáljuk,
a következőképpen számolunk. Az
definíciót felhasználva a
-ból és a derivált Laplace-transzformáltjára
vonatkozó összefüggésből
ha az
definíciót használjuk az utolsó tagban. Innen
Ezen függvények stacionárius megoldását is megvizsgáljuk.
Meg lehet mutatni, hogy az
-nek
esetén létezik az
kezdeti értéktől független határfüggvénye,
ha
, legyen
. A Takács-féle
integrodifferenciál-egyenletből a bal oldal
esetén nullához tart, így
Továbbá ha
, akkor
is létezik
és független a kezdeti eloszlástól. Tekintsük a
Laplace-Stieltjes transzformáltját, és
a
levezetéséhez hasonlóan kapjuk, hogy
ahol
, azaz
annak a valószínűsége, hogy a munkahátralék mennyisége
nulla. Ezután
Tudjuk, hogy
, ebből
a L'Hospital szabályt használva
azaz
, annak a valószínűsége, hogy
a rendszer szabad, ami összhangban van az
-ra tett korábbi megállapításainkkal.
Végül adódik, hogy
Emlékezzünk vissza a várakozási időre vonatkozó P-H transzformált
egyenletre
Így
, azaz stacionárius esetben
a hátralévő kiszolgálási idő sűrűségfüggvényének
és a várakozási idő sűrűségfüggvényének Laplace-transzformáltja
megegyezik.