III.1.7. A Takács-féle integrodifferenciál-egyenlet

III.1.7. A Takács-féle integrodifferenciál-egyenlet

Ebben a fejezetben az $U\left(t\right)$ munkahátralékot vizsgáljuk meg kissé közelebbről. Korábban megállapítottuk, hogy az $U\left(t\right)$ folytonos idejű, folytonos állapotterű, az igények beérkezési pillanataiban diszkrét ugrásokat tartalmazó Markov-folyamat. Most az $U\left(t\right)$ eloszlásfüggvényére vezetünk le egy összefüggést, a pillanatban adott kezdeti érték mellett. Legyen

$\begin{displaymath} F\left(w,t\right)=P\left(U\left(t\right)\le w\ \vert\ U\left(0\right)=w_0\right) , \end{displaymath}$

azaz annak a valószínűsége, hogy a

időpontban érkező ,,virtuális" igény $U\left(t\right)\le w$ ideig tartózkodik a rendszerben, ha tudjuk, hogy $U\left(0\right)=w_0$ . $F\left(w,t+\Delta t\right)$ -re szeretnénk egy kifejezést kapni $F\left(w,t\right)$ és $F\left(w+\Delta t,t\right)$ segítségével. Az $U\left(t+\Delta t\right)\le w$ esemény a

pillanatbeli állapotból úgy valósulhat meg, ha

$\bullet$ vagy a pillanatban a munkahátralék nem nagyobb $\left(w+\Delta t\right)$ -nél és nem érkezik igény a $\Delta t$ időközben, aminek a valószínűsége az elemi sorbanállási elméletből jól ismert: $1-\lambda\Delta t+o\left(\Delta t\right)$ ;

$\bullet$ vagy egyetlen beérkezés fordul elő a $\Delta t$ intervallumban -- ennek valószínűsége $\lambda\Delta t+o\left(\Delta t\right)$ -- úgy, hogy az ez által hozott munka és a pillanatbeli munkahátralék összege nem haladja meg -t. Az $x<U\left(t\right)\le x+dx$ valószínűségét így írhatjuk fel:

$\begin{displaymath} P\left(x<U\left(t\right)\le x+dx\right)= \left({\partial F... ...t(x,t\right)\over\partial x}\right)dx :=f\left(x,t\right)dx. \end{displaymath}$

Annak a valószínűsége pedig, hogy a kiszolgálási idő nem nagyobb, mint

, éppen $B\left(x\right)$ . Mivel egy igény kiszolgálási ideje független a munkahátraléktól, annak a valószínűsége, hogy az új igény munkaszükségletével együtt sem haladja meg az $U\left(t\right)$ a

-t, szorzatként írható

$\begin{displaymath} \left({\partial F\left(x,t\right)\over\partial x}\right)dxB\left(w-x\right) \end{displaymath}$

alakban. A teljes valószínűség tétele alapján felírhatjuk, hogy

$\begin{displaymath} \eqalign{ F\left(w,t+\Delta t\right)=&\left(1-\lambda\Delt... ... x}dx+\cr &+o\left(\Delta t\right).\cr}\leqno\left(24\right) \end{displaymath}$

Az eloszlásfüggvényt az első változója szerint sorbafejtve (csak a lineáris tagot véve)

$\begin{displaymath} F\left(w+\Delta t,t\right)=F\left(w,t\right)+{\partial F\left(w,t\right)\over\partial w}\Delta t+o\left(\Delta t\right). \end{displaymath}$

Használjuk ezt fel $\left(24\right)$ -ben:

$\begin{displaymath} F\left(w,t+\Delta t\right)=F\left(w,t\right)+{\partial F\le... ...)+{\partial F\left(w,t\right)\over\partial w}\Delta t\right)+ \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} +\lambda\Delta t\int\limits_0^w B\left(w-x\right)d_xF\left(x,t\right)+o\left(\Delta t\right). \end{displaymath}$

Ezen egyenletnek ki kell elégítenie a következő feltételeket:

$\begin{displaymath} F\left(w,0\right)=1,\ \forall w\hbox{-re \'es } F\left(\infty,t\right)=1, \ \forall t\hbox{-re}. \end{displaymath}$

Most mindkét oldalból vonjunk ki $F\left(w,t\right)$ -t, osszunk $\Delta t$ -vel és képezzük a $\Delta t\to 0$ határátmenetet. Így kapjuk az $U\left(t\right)$ eloszlásfüggvényére vonatkozó Takács-féle integrodifferenciál-egyenletet:

$\begin{displaymath} {\partial F\left(w,t\right)\over\partial t}={\partial F\lef... ...\limits_0^wB\left(w-x\right)d_xF\left(x,t\right). \leqno(25) \end{displaymath}$

Takács ezt az összefüggést inhomogén Poisson-folyamatra ( $\lambd<a= \lambda(t)$ ) is levezette. Ekkor majdnem minden $w\ge 0$ és $t\ge 0$ -ra fennáll az egyenlet.*Csak azon és értékekre nem áll fenn, melyekre ${\partial F\left(w,t\right)\over\partial w}$ nem létezik, például -ban. A Takács-féle integrodifferenciál-egyenletből több információt is levezethetünk. Vegyük a

-nek az első változóX,

szerinti Laplace- Stieltjes transzformáltját:

$\begin{displaymath} {1\over r}\cdot{\partial F^*\left(r,t\right)\over\partial t... ...ver r}+\lambda{F^*\left(r,t\right)B^*\left(r\right)\over r} . \end{displaymath}$

A Függelék alapján

$\begin{displaymath} \int\limits_0^\infty F\left(w,t\right)e^{-rw}dw={F^*\left(r,t\right)+F\left(0^-,t\right)\over r} , \end{displaymath}$

és hasonlóan

$\begin{displaymath} \int\limits_0^\infty B\left(w\right)e^{-rw}dw={B^*\left(r\right)+B\left(0^-\right)\over r}. \end{displaymath}$

Mivel a munkahátralék és a kiszolgálási idő nemnegatív valószínűségi változók, $F\left(0^-,t\right)=B\left(0^-\right)=0$ . Az integrodifferenciál-egyenlet integrált tartalmazó tagjában a $B\left(w\right)$ és ${\partial F\left(w,t\right)\over\partial w}$ konvolúciója szerepel, ennek a transzformáltja pedig a transzformáltak szorzata. Még a $-F\left(0^+,t\right)$ tag szorul magyarázatra. A ${\partial F\left(w,t\right)\over\partial w}$ transzformáltja $F^*\left(r,t\right)$ , de ez magában foglalja az $F\left(0^+,t\right)$ tagot is, viszont a Takács-féle integrodifferenciál-egyenlet ezt nem tartalmazza (

-ra nincs értelme), ezért kivonjuk $F^*\left(r,t\right)$ -ből. Ezek alapján kaptuk tehát a $\left(26\right)$ -ot. Ha az $F^*\left(r,t\right)$ -t a második változó szerint is transzformáljuk, a következőképpen számolunk. Az

$\begin{displaymath} F^{**}\left(r,s\right):=\int\limits_0^\infty e^{-st}F^*\left(r,t\right)dt \end{displaymath}$

definíciót felhasználva a $\left(26\right)$ -ból és a derivált Laplace-transzformáltjára vonatkozó összefüggésből

$\begin{displaymath} \eqalign{ \int\limits_0^\infty e^{-st}{\partial F^*\left(r... ...r &-\int\limits_0^\infty e^{-st}rF\left(0^+,t\right)dt ,\cr} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} sF^{**}\left(r,s\right)-F^*\left(r,0^-\right)=\left(r-\lamb... ...(r\right)\right)F^{**}\left(r,s\right)-rF_0^*\left(s\right) , \end{displaymath}$

ha az

$\begin{displaymath} F_0^*\left(s\right):=\int\limits_0^\infty e^{-st}F\left(0^+,t\right)dt \end{displaymath}$

definíciót használjuk az utolsó tagban. Innen

$\begin{displaymath} F^{**}\left(r,s\right)={F^*\left(r,0^-\right)-rF_0^*\left(s\right)\over s-r+\lambda-\lambda B^*\left(r\right)}. \end{displaymath}$

Ezen függvények stacionárius megoldását is megvizsgáljuk. Meg lehet mutatni, hogy az $F\left(w,t\right)$ -nek $t\to\infty$ esetén létezik az $F\left(w,0\right)$ kezdeti értéktől független határfüggvénye, ha $\varrho<1$ , legyen $F\left(w\right)=\lim\limits_{t\to\infty}F\left(w,t\right)$ . A Takács-féle integrodifferenciál-egyenletből a bal oldal $t\to\infty$ esetén nullához tart, így

$\begin{displaymath} {dF\left(w\right)\over dw}=\lambda F\left(w\right)-\lambda\... ...s_0^w B\left(w-x\right)dF\left(x\right).\leqno\left(27\right) \end{displaymath}$

Továbbá ha $\varrho<1$ , akkor $F^*\left(r\right):=\lim\limits_{t\to\infty}F^*\left(r,t\right)$ is létezik és független a kezdeti eloszlástól. Tekintsük a $\left(27\right)$ Laplace-Stieltjes transzformáltját, és a $\left(26\right)$ levezetéséhez hasonlóan kapjuk, hogy

$\begin{displaymath} F^*\left(r\right)-F\left(0^+\right)={\lambda F^*\left(r\rig... ...over r}-{\lambda B^*\left(r\right)F^*\left(r\right)\over r} , \end{displaymath}$

ahol $F\left(0^+\right)=\lim\limits_{t\to\infty}F\left(0^+,t\right)$ , azaz annak a valószínűsége, hogy a munkahátralék mennyisége nulla. Ezután

$\begin{displaymath} F^*\left(r\right)={rF\left(0^+\right)\over r-\lambda+b\lambda B^*\left(r\right)}. \end{displaymath}$

Tudjuk, hogy $F^*\left(0\right)=\lim\limits_{t\to\infty}F^*\left(0,t\right)=1$ , ebből a L'Hospital szabályt használva

$\begin{displaymath} 1=\lim\limits_{r\to 0}{rF\left(0^+\right)\over r-\lambda+\l... ...\right)\over dr}}={F\left(0^+\right)\over 1-\lambda\bar{x}} , \end{displaymath}$

azaz $F\left(0^+\right)=1-\varrho$ , annak a valószínűsége, hogy a rendszer szabad, ami összhangban van az $F\left(0^+\right)$ -ra tett korábbi megállapításainkkal. Végül adódik, hogy

$\begin{displaymath} F^*\left(r\right)={r\left(1-\varrho\right)\over r-\lambdaf+\lambda B^*\left(r\right)}. \end{displaymath}$

Emlékezzünk vissza a várakozási időre vonatkozó P-H transzformált egyenletre

$\begin{displaymath} W^*\left(r\right)={r\left(1-\varrho\right)\over r-\lambda+\lambda B^*\left(r\right)}. \end{displaymath}$

Így $F^*\left(r\right)=W^*\left(r\right)$ , azaz stacionárius esetben a hátralévő kiszolgálási idő sűrűségfüggvényének és a várakozási idő sűrűségfüggvényének Laplace-transzformáltja megegyezik.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>