III.4.1. A stacionárius eloszlás meghatározása

III.4.1. A stacionárius eloszlás meghatározása

Jelölje a $\nu(t)$ valószínűségi változó a időpontban a terminálnál lévő jobok számát, $\left(\alpha_1\left(t\right),\ldots,\alpha_{\nu\left(t\right)}\right)$ ezeknek a joboknak az indexeit lexikografikus sorrendben, és $\left(\beta_1\left(t\right),\ldots, \beta_{n-\nu\left(t\right)}\right)$ a központi egységnél lévő (kiszolgálás alatt lévő vagy sorbanálló) jobok indexeit érkezésük sorrendjében. Az

$\begin{displaymath}Y\left(t\right)= \left(\nu\left(t\right);\alpha_1\left(t\rig... ...beta_{n-\nu\left(t\right)}\right),\ \ \ \ \ \left(t\ge 0\right)\end{displaymath}$

folyamat csak akkor Markov-folyamat, ha az $F_i\left(x\right)$ $(i=1,\ldots,n)$ eloszlásfüggvények exponenciálisak. Vezessük be a $\xi\alpha_i\left(t\right)$ változót, amely azt az időt jelöli, amelyet az $\alpha_i$ job a terminálnál eltöltött a legutolsó központi egységbeli kiszolgálása óta. Az így kapott

$\begin{displaymath}X\left(t\right)= \left(\nu\left(t\right);\alpha_1\left(t\rig... ...eta_1\left(t\right),\ldots, \beta_{n-\nu\left(t\right)}\right)\end{displaymath}$

folyamat rendelkezik a Markov tulajdonsággal.

Jelölje

és

az $1,2,\ldots,n$ egészek

-ad osztályú variációinak illetve a kombinációinak lexikografikusan rendezett halmazát. Ekkor az $\left(X\left(t\right),t\ge 0\right)$ folyamat állapottere az olyan

$\begin{displaymath}\left(i_1,\dots,i_k; x_1,\ldots,x_k; j_1,\ldots,j_{n-k}\right)\end{displaymath}$

pontokból áll, ahol $(i_1,\ldots,i_k)\in C_k^n$ , $(j_1,\ldots,j_{n-k})\in V_k^n$ , $x_i\in R_+$ , $i=0,1,\ldots,k$ , $k=0,1,\ldots,n$ . Az

folyamat akkor van az $(i_1,\ldots,i_k;x_1,\ldots,x_k;j_1,\ldots,j_{n-k})$ állapotban, ha az $(i_1,\ldots,i_k)$ indexű jobok már $(x_1,\ldots,x_k)$ ideje vannak a termináloknál, és $(j_1,\ldots,j_{n-k})$ a központi egységnél lévő jobok indexe érkezési sorrendben.

A Kolmogorov-egyenletek levezetéséhez szükségünk van tetszőleges

intervallumban lejátszódó átmenetek vizsgálatára. Az átmeneti valószínűségeket a következő módon adhatjuk meg $0\le n-k<r$ esetére.

$\begin{displaymath}=\left(1-\left(n-k\right)\mu h\right) \prod_{l=1}^k {1-F_{i_... ...x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)} +o\left(h\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={f_{j_{n-k}}\left(y\right)h\over 1-F_{j_{n-k}}\left(y\right)... ...(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)}+ o\left(h\right),\end{displaymath}$

ahol $(i_1^{'},\ldots,j_{n-k}^{'},\ldots,i_k^{'})$ az $(i_1,\ldots, i_k,j_{n-k})$ indexeket jelöli lexikografikus sorrendben, és $(x_1,\ldots,y^{'},\ldots,x_k^{'})$ a megfelelő időket.

Ha $r\le n-k\le n$ akkor az átmeneti valószínűségek a következők:

$\begin{displaymath}=\left(1-r\mu h\right) \prod_{l=1}^k {1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)} +o\left(h\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}={f_{j_{n-k}}\left(y\right)h\over 1-F_{j_{n-k}}\left(y\right)... ...(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)}+ o\left(h\right),\end{displaymath}$

Vezessük be a következő függvényeket:

$\begin{displaymath}Q_{0;j_1,\ldots,j_n}\left(t\right)= P\left(\nu\left(t\right)... ..._1\left(t\right)= j_1,\ldots,\beta_n\left(t\right)=j_n\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k;t\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P\left(\nu\left(t\right)=k; \alpha_1\left(t\right)= i_1,\ldo... ...t\right)=i_k; \xi_{i_1}\le x_1,\ldots,\xi_{i_k}\le x_k;\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\beta_1\left(t\right)=j_1,\ldots,\beta_{n-k}\left(t\right)= j_{n-k}\right).\end{displaymath}$

Legyen $\lambda_i$ a következőképpen definiálva: $1/\lambda_i=\int\limits_0^\infty x dF_i\left(x\right)$ .

1.Tétel Ha $1/\lambda_i<\infty$ , $i=1,\ldots,n$ , akkor az $\left(X\left(t\right),t\ge 0\right)$ folyamatnak van egyértelmű ergodikus ( stacionárius ) eloszlása, amely független a kezdeti feltételektől, azaz

$\begin{displaymath}Q_{0;j_1,\ldots,j_n}= \lim_{t\to\infty} Q_{0;j_1,\ldots,j_n}\left(t\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty} Q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k;t\right).\end{displaymath}$

A tétel bizonyítása Gnedenko-Kovalenko (1989) könyvének 211. oldalán található tételből közvetlenül következik.

A tétel biztosítja a következő határértékek létezését, és egyértelműségét:

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)dx_1 \ldots dx_l=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=P\left(\nu\left(t\right)=k; \alpha_1\left(t\right)=i_1,\ldo... ...\right)= i_k; x_l\le \xi_{i_l}<x_l +dx_l, l=1,\ldots,k;\right.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left.\beta_1\left(t\right)=j_1,\ldots,\beta_{n-k}\left(t\right)= j_{n-k}\right),\ \ \ \ \ \ k=1,\ldots,n\end{displaymath}$

ahol $q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)$ jelöli az $\left(i_1,\ldots,i_k; x_1,\ldots,x_k; j_1,\ldots,j_{n-k}\right)$ állapotok sűrűségfüggvényét, ha $t\to\infty$ . Feltesszük, hogy rögzített

-ra az ergodikus eloszlásoknak létezik a sűrűségfüggvénye. Ehhez elegendő feltenni, hogy az

-nek van sűrűségfüggvénye. Vezessük be a

$\begin{displaymath}\tilde{q}_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldo... ..._1\right)\right)\ldots \left(1-F_{i_k}\left(x_k\right)\right)}\end{displaymath}$

ún. norëmált sűrűségfüggvényeket.

2.Tétel A fenti normált sűrűségfüggvények kielégítik az

integro-differenciál-egyenleteket a

határfeltételek mellett.

$\begin{displaymath}{\left[{\partial\over \partial x_1}+\ldots +{\partial\over \p... ...dots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)\leqno \left(1\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=-\left(n-k\right)\mu \tilde{q}_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\int\limits_0^\infty \tilde{q}_{i_1^{'},\ldots,j_{n-k}^{'},\... ...{'},\ldots,y^{'},\ldots,x_k^{'}\right)f_{j_n}\lef\t(y\right)dy,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\tilde{q}_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},0, x_{l+1},\ldots,x_k\right)=\leqno \left(2\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\mu \sum_{V_{j_1,\ldots,j_{n-k}}^{i_l}} \tilde{q}_{i_1,\ldot... ...ts, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},x_{l+1},\ldots,x_k\right)\end{displaymath}$

$l=1,\ldots,k$ , $0\le n-k<r$ esetén,

$\begin{displaymath}{\left[{\partial\over \partial x_1}+ \ldots +{\partial\over \... ...dots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)=\leqno\left(3\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=-r\mu \tilde{q}_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\int\limits_0^\infty \tilde{q}_{i_1^{'},\ldots,j_{n-k}^{'},\... ...1^{'},\ldots,y^{'},\ldots,x_k^{'}\right)f_{j_n}\left(y\right)dy\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\tilde{q}_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},0, x_{l+1},\ldots,x_k\right)=\leqno \left(4\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\mu \sum_{V_{j_1,\ldots,j_{r-1}}^{i_l}} \tilde{q}_{i_1,\ldot... ...s, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},x_{l+1},\ldots,x_k\right),\end{displaymath}$

$l=1,\ldots,k$ , $r\le n-k<n-1$ esetén,

valamint

$\begin{displaymath}r\mu Q_{0;j_1,\ldots,j_n}= \int\limits_0^\infty \tilde{q}_{j_n;j_1,\ldots,j_{n-1}} \left(y\right) f_{j_n}\left(y\right)dy.\end{displaymath}$

A $\left[\ \ \right]^*$ jelentése a bizonyításban szerepel, és

$\begin{displaymath}V_{j_1,\ldots,j_s}^{i_l}=\left[\left(i_l,j_1,\ldots,j_s\right... ...), \ldots,\left(j_1,\ldots,j_s,i_l\right)\right]\in V_{s+1}^n.\end{displaymath}$

Bizonyítás. Mivel $\left(X\left(t\right),t\ge 0\right)$ Markov-folyamat, ezért sűrűségfüggvényei kielégítik a Kolgomorov-Chapman egyenleteket. Tekintsük a folyamatot rövid

ideig. Ekkor a következő összefüggések igazak:

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1+h,\ldots,x_k+h\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k... ... {1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)} +\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\prod_{l=1}^k {1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\le... ...{n-k-1}} \left(x_1^{'},\ldots,y^{'}\ldots,x_k^{'}\right)\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times {f_{j_{n-k}}^{'} \left(y\right) h\over 1-F_{j_{n-k}}\left(x_l\right)}dy+o\left(h\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1+h,\ldots,x_{l-1}+h,0, x_{l+1}+h,\ldots,x_k+h\right)h=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=o\left(h\right)+\mathop{\prod_{s=1}^k}\limits_{s\ne l} {1-F_{i_s}\left(x_s+h\right)\over 1-F_{i_s}\left(x_s\right)}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\mu h\sum_{V_{j_1,\ldots,j_{n-k}}^{i_l}} \tilde{q}_{i_1... ...ts, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},x_{l+1},\ldots,x_k\right)\end{displaymath}$

$0\le n-k<r$ , $l=1,\ldots,k$ esetén.

Hasonlóan

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1+h,\ldots,x_k+h\right)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k... ... {1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\left(x_l\right)} +\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+ \prod_{l=1}^k {1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\over 1-F_{i_l}\l... ...-k-1}} \left(x_1^{'},\ldots,y^{'},\ldots,x_k^{'}\right)\times \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times {f_{j_{n-k}}^{'} \left(y\right) h\over 1-F_{j_{n-k}}\left(x_l\right)}dy+o\left(h\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1+h,\ldots,x_{l-1}+h,0, x_{l+1}+h,\ldots,x_k+h\right)h=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=o\left(h\right)+\mathop{\prod_{s=1}^k}\limits_{s\ne l} {1-F_{i_s}\left(x_s+h\right)\over 1-F_{i_s}\left(x_s\right)}\times\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\times\mu h\sum_{V_{j_1,\ldots,j_{n-k}}^{i_l}} \tilde{q}_{i_1... ...ts, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_{l-1},x_{l+1},\ldots,x_k\right)\end{displaymath}$

$0\le n-k<r$ , $l=1,\ldots,k$ esetén.

Végül

$\begin{displaymath}Q_{0;j_1,\ldots,j_n}=Q_{0;j_1,\ldots,j_n}\left(1-r\mu h\right)+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+\int\limits_0^\infty \tilde{q}_{j_n; j_1,\ldots, j_{n-1}}\le... ...left(y\right)h\over 1-F_{j_n}\left(y\right)}dy+o\left(h\right).\end{displaymath}$

Ezekből az összefüggésekből a tétel állítását könnyen megkaphatjuk. A felírt összefüggések bal oldalát $\prod\limits_{l=1}^k \left(1-F_{i_l}\left(x_l+h\right)\right)$ -val osztva, és figyelembe véve a normált sűrűségfüggvény definícióját, és $h\to0$ határértéket véve kapjuk a tétel állítását. A tétel

egyenlőségeinek bal oldalán a parciális differenciálhányados szokásos jelölését használtuk fel. Ezt általában nem tehetjük meg, mivel a parciális differenciálhányados létezését nem tettük fel. Ezért használtuk a $[\ \ ]^*$ jelölést. Valójában $[\ \ ]^*$ az $(1,1,\ldots,1)\in R^k$ iránymenti deriváltat jelenti. A

$\begin{displaymath}\left[Q_{0;j_1,\ldots,j_n}, Q_{i_1,\ldots,i_k;j_1,\ldots,j_{n-k}}\right],\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(i_1,\ldots,i_k\right)\in C_k^n, \ \ \ \left(j_1,\ldots,j_{n-k} \right)\in V_{n-k}^N, \ \ \ \ k=1,\ldots,n. \end{displaymath}$

ergodikus eloszlás meghatározásához meg kell oldani az

egyenleteket a

határfeltételek mellett. Legyen

$\begin{displaymath}Q_{0;j_1,\ldots,j_n}=c_0,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}\left(x_1,\ldots,x_k\right)=c_k, \ \ \ \ \ \ \ k=1,\ldots,n.\end{displaymath}$

Ekkor behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy kielégítik az

egyenleteket a

határfeltételek mellett, és ezek a

értékek rekurzióval kifejezhetők

függvényében. Nevezetesen

$\begin{displaymath}c_k={\left(r!r^{n-r-k} \mu^{n-k}\right)}^{-1}c_n, \ \ \ \ \ 0\le k\le n-r,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}c_k={\left(\left(n-k\right)!\mu^{n-k}\right)}^{-1}c_n, \ \ \ \ \ n-r\le k\le n.\end{displaymath}$

Ezek az egyenletek teljesen leírják a rendszer működését. Jelölje $Q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}$ annak a stacionárius valószínűségét, hogy a termináloknál az $(i_1,\ldots,i_k)$ indexű jobok vannak, és a központi egységnél lévő jobok indexei érkezési sorrendben $(j_1,\ldots,j_{n-k})$ . Továbbá $Q_{i_1,\ldots,i_k}$ jelölje annak a stacionárius valószínűségét, hogy az $(i_1,\ldots,i_k)$ indexű jobok tartózkodnak a termináloknál. Igazolható, hogy

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots, j_{n-k}}={\left(\lambda_{i_1},\ldots, \lambda_{i_k}\right)}^{-1} c_k, \ \ \ \ k=1,\ldots,n.\end{displaymath}$

-ra kapott összefüggést felhasználva kapjuk, hogy

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_k}=\left(n-k\right)!{\left(r!r^{n-r-k}\mu^{n-k} \lambda_{i_1},\ldots, \lambda_{i_k}\right)}^{-1}c_n,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(i_1,\ldots,i_k\right)\in C_k^n, \ \ \ \ \ k=0,1,\ldots,n-r.\end{displaymath}$

Hasonlóan

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_k}= {\left(\mu^{n-k}\lambda_{i_1},\ldots, \lambda_{i_k}\right)}^{-1}c_n,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(i_1,\ldots,i_k\right)\in C_k^n, \ \ \ \ \ k=n-r,\ldots,n.\end{displaymath}$

Jelölje $\hat {Q}_k$ és $\hat{P}_l$ annak a stacionárius valószínűségét, hogy a termináloknál

, illetve a központi egységeknél

job tartózkodik. Ekkor világos, hogy

$\begin{displaymath}Q_{i_1,\ldots,i_n}=Q_{1,\ldots,n}=\hat {Q}_n,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\hat{Q}_k=\hat {P}_{n-k},\ \ \ \ \ \ \ k=0,\ldots,n.\end{displaymath}$

Könnyen belátható, hogy

$\begin{displaymath}c_n=\hat{Q}_n\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\hat{Q}_k=\sum_{\left(i_1,\ldots,i_k\right) \in C_k^n} Q_{i_1,\ldots,i_k},\end{displaymath}$

ahol $\hat {Q}_n$ a $\sum\limits_{k=0}^n \hat {Q}_k=1$ normalizáló feltételéből határozható meg.

Homogén esetben a következő eredményekhez jutunk.

$\begin{displaymath}\hat {Q}_k= {n!\over r!k!r^{n-k-r}}{\left({\lambda \over \mu}\right)}^{n-k} \hat{Q}_n,\ \ \ \ \ \ ha\ \ 0\le k\le n-r,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\hat {Q}_k= {n\choose k}{\left({\lambda \over \mu}\right)}^{n-k} \hat{Q}_n, \ \ \ \ \ ha\ \ n-r\le k\le n.\end{displaymath}$

Ezért

$\begin{displaymath}\hat {P}_k= {n\choose k}{\left({\lambda \over \mu}\right)}^{k} \hat{P}_0, \ \ \ \ \ ha\ \ 0\le k\le r,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\hat {P}_k= {n!\over r!(n-k)!r^{k-r}}{\left({\lambda \over \mu}\right)}^{k} \hat{P}_0, \ \ \ \ \ ha\ \ r\le k\le n.\end{displaymath}$

Ezek az eredmények megegyeznek az modell stacionárius valószínűségeire kapott eredményeivel. Látható, hogy ezek az eloszlásfüggvény alakjától nem függnek, csak az $1/\lambda_i$ várható értékektől.

Nyitólap Tartalomjegyzék Fejezetek ( B I II III IV F ) Letöltések

FRAME-mel

FRAME nélkül

<< Előző

Következő >>