I.2.1.4. Nem periodikus Markov-lánc határeloszlás-tételei


Egy Markov-láncot ergodikusnak nevezünk, ha a $(P_j(n))$ valószínűségeloszlások a kezdeti $(P_j(0))$ eloszlástól független $(P_j)$ határeloszláshoz konvergálnak, azaz $\lim\limits_{n\to\infty} P_j(n) =P_j\ ,\ \ \ j=1, 2, 3,\ldots$. A kezdeti $(P_j(0))$ eloszlást stacionárius eloszlásnak mondjuk abban az esetben, ha a $(P_j(n))$ eloszlások megegyeznek a kezdeti eloszlással.

2. Tétel: Tegyük fel, hogy egy irreducibilis Markov-lánc állapotai nem periodikusak, nem tranziensek, és nem zérus állapotok. Ekkor $(P_j(0))$ kezdeti eloszlástól függetlenül léteznek a

\begin{displaymath} \lim\limits_{n\to\infty} P_j(n) =P_j \leqno(10) \end{displaymath}


határértékek. Továbbá $(P_j)$ egy valószínűségeloszlás pozitív elemekkel, azaz

\begin{displaymath} P_j > 0\ \ \hbox{ \'es }\ \ \sum\limits_j P_j=1. \leqno(11) \end{displaymath}


A $(P_j)$ valószínűségeloszlás egyértelműen meghatározható az alábbi lineáris egyenletrendszer segítségével:

\begin{displaymath} P_j= \sum\limits_j P_i p_{ij}. \leqno(12) \end{displaymath}


Végül fennáll, hogy az $E_j$ állapot átlagos visszatérési ideje, $\mu_j= 1/P_j$.

Megjegyezzük, hogy ha egy irreducibilis Markov-lánc állapotai nem periodikusak, de az összes állapotai tranziensek vagy zérus állapotok, úgy a kezdeti eloszlástól függetlenül fennáll $\lim\limits_{n\to\infty} P_j(n)=0$.

Megemlítünk néhány kritériumot egy Markov-lánc ergodikus voltának eldöntésére. A. A. Markov tétele szerint véges sok állapottal bíró, nem periodikus és irreducibilis Markov-lánc állapotai ergodikusak, és így érvényes a 2. Tétel. Egy tetszőleges, nem periodikus és irreducibilis Markov-lánc ergodikus, ha a $(12)$ alatti

\begin{displaymath} \sum\limits_i x_ip_{ij}=x_j \end{displaymath}

egyenletrendszernek létezik olyan nem zérus megoldása, amelyre

\begin{displaymath} \sum\limits_i \vert x_i\vert <\infty. \end{displaymath}

A 2. Tételből következik, hogy ha a Markov-lánc ergodikus, úgy egyetlen stacionárius eloszlás létezik, éspedig ez a $(P_j)$ határeloszlással egyezik meg. Ha pedig egy irreducibilis és nem periodikus Markov-lánc állapotai tranziensek vagy zérus állapotok, úgy nem létezik stacionárius eloszlás. Fizikai rendszereknél a statisztikai egyensúly-állapotot a stacionárius eloszlással írjuk le, és azt a tényt, hogy a $(P_j(n))$ eloszlások konvergálnak a $(P_j)$ határeloszláshoz, úgy értelmezzük, mint az egyensúlyi állapothoz való közeledést.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>