II.2. Az M/M/1/K típusú, véges befogadóképességű rendszer


Most olyan sorbanállási rendszereket vizsgálunk, amelyekben rögzített a várakozó igények számának maximuma. Feltesszük, hogy a rendszerben legfeljebb $K$ igény tartózkodhat (beleértve a kiszolgáló egységben levő igényt is), egyetlen ezen felül érkező igény sem léphet be a rendszerbe, hanem azonnal távozik, anélkül, hogy kiszolgálnák őt. Továbbra is Poission-folyamat szerint érkeznek az igények, azonban csak azok az igények léphetnek be a rendszerbe, amelyek érkezésekor kevesebb, mint $K$ igény van ott. Ennek a látszólag bonyolult rendszernek a leírását az alábbi módon tudjuk összhangba hozni a születési-halálozási modellel. Az előzőekhez hasonlóan nem nehéz belátni, hogy ebben az esetben az alábbi intenzitásokat kapjuk.

\begin{displaymath} \lambda_k=\cases{\lambda &\hbox{, ha $k<K$} ,\cr 0&\hbox{, ha $k\geq K$} ,} \end{displaymath}


\begin{displaymath} \mu_k=\mu , \qquad k=1,2,...,K. \end{displaymath}

Látszik, hogy ez a rendszer mindig ergodikus, mert állapottere véges. Továbbá

\begin{displaymath} P_k=P_0\prod_{j=0}^{k-1}{\lambda \over \mu }=P_0{\lambda \overwithdelims() \mu }^k, \qquad \hbox{ha }k\leq K. \end{displaymath}

Természetesen

\begin{displaymath} P_k=0, \hbox{ ha }k>K. \end{displaymath}

Szeretnénk kiszámolni a $P_0$ valószínűséget. A normalizáló feltétel alapján

\begin{displaymath} P_0=\left[1+\sum_{k=1}^K{\lambda \overwithdelims() \mu }^k\... ...}\right]^{-1}={1-\lambda /\mu \over 1-(\lambda /\mu )^{K+1}}, \end{displaymath}

végül

\begin{displaymath} P_k=\cases{{1-\lambda /\mu \over 1-(\lambda /\mu )^{K+1}}{\... ...hbox{, ha $0\leq k\leq K,$}\cr 0 &\hbox{ egy\'ebk\'ent}.\cr} \end{displaymath}

$K=1$ esetén az M/M/1/1 rendszer azt jelenti, hogy egyáltalán nincs várakozás.

\begin{displaymath} P_k=\cases{{1 \over 1+\lambda /\mu }&\hbox{, ha $k=0$,}\cr ... ...a /\mu }&\hbox{, ha $k=1=K$,}\cr 0 &\hbox{ egy\'ebk\'ent.}} \end{displaymath}

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>