II.6.1. Az $<n/\vec{M}/\vec{M}/1/PS>$ rendszer


A gépkiszolgálási probléma esetén ez a diszciplina azt jelenti, hogy a gépek javítása meghibásodásuk után rögtön megkezdődik, melynek intenzitása függ a mindenkori hibás gépek számától, és azzal fordítottan arányos. Ha egy gép javítás alatt van egy olyan $\delta t$ idő alatt, amikor rajta kívül még $k-1$ más gép is hibás, akkor ezen $\delta t$ idő alatt egy gép javítási ideje csak $\delta t/k$ mennyiséggel halad előre. Ekkor a $\xi(t)$ folyamat állapotterét az $1,2,\ldots,n$ számok $(i_1,\ldots,i_k)$ $(1\le k\le n)$ kombinációi alkotják, és ezekhez még hozzá kell venni a $0$ pontot (minden gép működik). Legyenek $P_{i_1,\ldots,i_k}(t)$ $(1\le i_1<i_2<\ldots<i_k\le n)$ a $\xi(t)$ lánc $t$ pillanatbeli eloszlását leíró függvények. Ekkor a Kolgomorov-egyenletek a következők:

\begin{displaymath}P_0^{'}\left(t\right)=-\left[\sum_{i=1}^n \lambda_i\right]
P_0\left(t\right)+\sum_{i=1}^n\mu_i P_i\left(t\right),\end{displaymath}


\begin{displaymath}P_{i_1\ldots i_k}^{'}(t)=\sum_{r=1}^k\lambda_{i_r}
P_{i_<1\ldots i_{r-1}i_{r+1}\ldots i_k}\left(t\right)-\end{displaymath}


\begin{displaymath}-\left[\nu_{i_1\ldots i_k}+{1\over k} \sum_{r=1}^k \mu_{i_r}\...
...r\over k+1} P_{i_1^{'} i_2^{'}\ldots i_{k+1}^{'}}\left(t\right)\end{displaymath}

ahol $i_1^{'},\ldots, i_{k+1}^{'}$ az $i_1,\ldots,i_k,r $ egészeknek a nagyság szerinti rendezése, és

$\nu_{i_1\ldots i_k}= \sum\limits
_{r\ne i_1\ldots i_k} \lambda_r,\ \ k=1,\ldots,n-1.$

\begin{displaymath}P_{1,\ldots,n}^{'}(t)=\sum_{r=1}^n \lambda_r P_{1,\ldots,r-1,r+1,]\ldots,n}
(t) -\end{displaymath}


\begin{displaymath}-\left[{1\over n}\sum_{r=1}^n\mu_r\right] P_{1,\ldots,n}(t),\end{displaymath}

ahol a megfelelő indexek értelemszerű értékeket vesznek fel. A stacionárius eloszlás, amely azonos a

\begin{displaymath}P_0=\lim_{t\to\infty}P_o\left(t\right),\end{displaymath}

\begin{displaymath}P_{i_1\ldots i_k}=\lim_{t\to\infty}P_{i_1\ldots i_k}\left(t\right)\end{displaymath}

$(1\le i_1<i_2<\ldots<i_k\le n,\ \ 1\le k\le n)$, ergodikus eloszlással, a

\begin{displaymath}\left[\sum_{i=1}^n\lambda_i\right]P_0= \sum_{i=1}^n \mu_iP_i,\end{displaymath}

 


\begin{displaymath}\left[\nu_{i_1\ldots i_k}+{1\over k} \sum_{r=1}^k\mu_{i_r}\ri...
...m_{r=1}^k \lambda_{i_r}P_{i_1\ldots i_{r-1} i_{r+1}\ldots i_k}+\end{displaymath}


\begin{displaymath}+\sum_{r\ne {i_1\ldots i_k}} {\mu_r\over k+1}P_{i_1^{'} i_2^{'}\ldots
i_{k+1}^{'}},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left[{1\over n}\sum_{r=1}^n\mu_r\right] P_{1,\ldots,n}=\sum_{r=1}^n \lambda_r
P_{1\ldots,r-1,r+1,\ldots,n}\end{displaymath}

homogén lineáris egyenletrendszernek a $P_0+\sum P_{i_1\ldots i_k}=1$ feltételt kielégítő egyértelmű megoldása, ahol az összegzés n elem összes kombinációira terjed ki. Egyszerű helyettesítéssel belátható, hogy ennek az egyenletrendszernek a megoldása a $P_{i_1\ldots i_k}=Ck! \prod\limits_{r=1}^k
{\lambda_{i_r}\over \mu_{i_r}}$, ahol $C$ a normalizáló feltételből határozható meg.

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>