II.7. Homogén forrású modellek összehasonlítása


Az alábbiakban ismertetett eredmények Asztalos Domonkos (1979) cikkében találhatók meg, és olyan véges forrású tömegkiszolgálási rendszerekre vonatkoznak, ahol egy kiszolgáló egység $n$ fogyasztót szolgál ki. A forrásnál eltöltött idő minden fogyasztóra nézve azonos $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású változó, és az $i$-edik fogyasztó kiszolgálási ideje $\mu_i$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Ennél a modellnél vizsgáljuk a kiszolgáló egység foglaltsági periódusait. PS kiszolgálási elv mellett a kiszolgáló egység foglaltsági periódusának várható értéke:

\begin{displaymath}E\delta_{PS}^{\left(n\right)}= {1\over n\lambda} \sum_{j=1}^n j!C_j ,\end{displaymath}

ahol $C_j=\sum\limits_{i_1,\ldots,i_j}\prod\limits_{k=1}^j{\lambda\over\mu_{i_k}}$.

1. Tétel: Exponenciális struktúrájú, véges, homogén forrású rendszerben abszolút prioritásos kiszolgálási diszciplina esetén tetszőleges $n$-re $ (1,2,\ldots)$ a kiszolgáló egység foglaltsági periódusainak várható értéke $E\delta_{PR}^{\left(n\right)}$, stacionárius esetben független a prioritások kiosztásától.

1. Következmény:

\begin{displaymath}E\delta_{PR}^{\left(n\right)}= E\delta_{FIFO}^{\left(n\right)}= E\delta_{LIFO}^{\left(n\right)}\end{displaymath}

A FIFO kiszolgálási diszciplina megfelel a érkezési sorrendben való kiszolgálásnak, a LIFO esetén egy érkezés kiszolgálása rögtön megkezdődik, és az esetleg megszakított fogyasztó kiszolgálása a megszakítás helyétől folytatódik a megszakítást okozó fogyasztó kiszolgálása után.

A Következmény Bizonyítása. Prioritásos kiszolgálás esetén $E\delta_{PR}^{\left(n\right)}$ független a prioritások kiosztásától. A FIFO diszciplinával azonos kiszolgálást kapunk, ha egy érkezéskor az éppen beérkező fogyasztóhoz rendelt prioritás értéke megegyezik azzal a számmal, hogy hányadiknak érkezett a kiszolgáló egységhez, és a korábban már a kiszolgáló egységben lévő fogyasztók prioritását nem változtatjuk meg. Ha egy fogyasztó távozik a kiszolgáló egységből, akkor a kiszolgáló egységnél maradt fogyasztók mindegyikének a prioritását eggyel csökkentjük. A forrásnál tartózkodó fogyasztók között a fennmaradt prioritásértékek tetszőlegesen kioszthatók. A LIFO diszciplinával azonos kiszolgálást kapunk, ha egy érkezéskor az éppen beérkező fogyasztó prioritása egy lesz, és a korábban már a kiszolgáló egységnél tartózkodó fogyasztók prioritását eggyel növeljük, egyébként a prioritások kiosztása megegyezik a FIFO-nál leírtakkal.

2.Tétel: Exponenciális struktúrájú, véges, homogén forrású tömegkiszogálási rendszerekben $E\delta^{(n)}_{PR}= E\delta^{(n)}_{PS}$.

A kiszolgálási diszciplinákat két csoportra oszthatjuk. Az első csoportba azok tartoznak, amelyeknél bármely véges $\tau$ intervallum felosztható véges számú diszjunkt intervallumok olyan sorozatára, hogy mindegyik intervallumban csak egy adott fogyasztó részesül kiszolgálásban. Ezeket a kiszolgálási diszciplinákat osztatlan kiszolgálású diszciplináknak nevezzük. Ilyenek a FIFO, a LIFO, az RR és PR diszciplinák. A másik csoportba tartozik az összes többi. Ilyen például a PS elv. Egy kiszolgálási diszciplina ëkonzervatív, ha a kiszolgáló egységnél nem vész el, és nem keletkezik kiszolgálási igény.

3.Tétel: Exponenciális struktúrájú, véges, homogén forrású tömegkiszolgálási rendszerben, amely $n$ gépet tartalmaz $\lambda$ és $\mu_i$ paraméterekkel, a foglaltsági periódus várható értéke stacionárius esetben azonos minden konzervatív osztatlan kiszolgálású diszciplinára és

\begin{displaymath}E\delta^{\left(n\right)}= E\delta^{\left(n\right)}_{PS}.\end{displaymath}

Bizonyítás. Könnyen belátható, hogy a prioritásos kiszolgálási diszciplina konzervatív és osztatlan kiszolgálójú, és a tételünk szerint $E\delta_{PR}$ értéke független a prioritások szétosztásától, és attól is, ha a prioritások szétosztása tetszőleges időpontban megváltozik. Az osztatlan kiszolgálású diszciplinák definíciója szerint bármely véges $\tau$ intervallumban véges azoknak az eseteknek a száma, amikor a kiszolgálás átvált egyik fogyasztóról a másikra. Így az a konzervatív osztatlan kiszolgálású rendszer, amelyben az eredeti diszciplina döntésének megfelelően megváltoztatjuk a prioritások eloszlását, ugyanúgy viselkedik, mint az eredeti rendszer.

Véges forrású rendszerek optimalizálási problémáival foglalkozik pl. Asztalos (1980).

Nyitólap    Tartalomjegyzék    Fejezetek ( B I II III IV F )    Letöltések
FRAME-mel FRAME nélkül
<<   Előző Következő  >>